Giros

—A este muchacho le falta una primavera —dijo. Explicó que habiendo nacido yo en verano, hacía un par de años se había producido un desequilibrio a raíz de mi viaje a Francia: los tres meses de otoño pasados allá me habían robado el equivalente de la primavera dejada acá; había pasado de un verano a un otoño, de un otoño a un invierno, y del invierno nuevamente al otoño —y otra vez el verano, que para mí fue casi inexistente. Sobraba un otoño, faltaba una primavera. La única solución era un viaje inmediato a París.
Fragmento de "Todo el tiempo" de Mario Levrero.

Describamos un poco en detalle la órbita de la Tierra en torno al Sol.

A esta altura del siglo XXI sostener que la Tierra es plana es una estupidez, hay muchas experiencias cotidianas que nos muestran que es redonda. No sé porqué, en la primaria nos decían que cuando Cristóbal Colón solicitó a los Reyes Católicos que patrocinen su expedición a "oriente por occidente" la discusión era si la Tierra era redonda o no. Esto es falso. Era obvio que la Tierra era redonda. La discusión era el tamaño que tenía. Colón eligió las estimaciones de menor tamaño, así el viaje era más corto y más viable (era lo que evaluarían los inversores). La estimación de Colón fue muy exigua, calculen que no llegó a Asia, tuvo la suerte de encontrar América en el camino. Aún así, llegó con lo justo (ya sin comida, etc.).

En cambio, argumentar en favor de que la Tierra gira en torno al Sol y no al revés es bastante más difícil. La teoría de Copérnico fue publicada en 1543, casi 500 años después un profesor de la facultad nos desafió a que hiciéramos una medición que lo muestre con "elementos domésticos", más aún los que había en ese laboratorio básico. No valía, claro, utilizar un buen telescopio. Hice la cuenta, de medir la paralaje respecto de las "estrellas fijas", con una cámara de fotos doméstica. Apenas alcazaba la resolución.

Determinar el movimiento relativo de la Tierra y el Sol le llevó a la humanidad varios siglos. Una vez que se pone el foco en el lugar correcto, no es un problema muy complejo. La Tierra y el Sol sufren una fuerza mutua que tiende a atraerlos, la fuerza de gravedad. Esto no es obvio. Hoy lo damos por hecho, pero fue bastante audaz en su momento suponer una fuerza que opere a la distancia. Admitida esta fuerza es lo más simple y simétrico suponer que la fuerza actúa en la dirección que une ambos cuerpos. Luego, supongamos que elegimos un sistema de referencia en el cual el Sol está fijo (termina siendo lo más razonable porque el Sol es mucho más pesado). La Tierra podría tener inicialmente cualquier velocidad. Entonces, en un momento dado, tenemos dos líneas: la que une el Sol con la Tierra y la que determina la velocidad de la Tierra. Sólo hay un plano que contiene estas dos líneas. Entonces, el movimiento de la Tierra en torno a Sol tiene que continuar en este plano. La Tierra no tiene modo de salirse.

Nos queda determinar que tan rápido gira y que tan lejos. El problema de las órbitas de los planetas termina reduciéndose a determinar la relación de tres variables: ángulo, radio y tiempo. Kepler fue quien descubrió estas relaciones analizando las observaciones de Tycho Brahe. Formuló las leyes de Kepler que son empíricas. La primera dice que las órbitas son elípticas, o sea relaciona el ángulo con el radio. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse. A Kepler le costó mucho descartar la circunferencia, se creía que los cielos eran perfectos y la única curva perfecta era la circunferencia. En esos tiempos se trataba de explicar los movimientos celestes como composición de movimientos circulares. Aquí vemos nuevamente que muchas veces la dificultad principal es descartar los preconceptos.

La segunda ley relaciona el ángulo con el tiempo, dice que el segmento imaginario entre el Sol y el planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales. Esto se conoce modernamente como la conservación del impulso angular. Así como algo que avanza sigue avanzando salvo que algo (una fuerza) lo frene, algo que gira sigue girando salvo que algo lo frene. Lo que nos interesa aquí es que, como la órbita es elíptica, la distancia al Sol no es siempre la misma. Entonces el planeta debe avanzar más rápido cuando está más cerca (y más lento cuando está más lejos).

Luego vino Newton, formuló la mecánica, la ley de gravedad y dedujo estas leyes de las suyas más básicas. Todo esto se aplica en general a cualquier par de cuerpos vinculados por la fuerza de gravedad, uno orbitando en torno al otro.

Con esta primera descripción tenemos bastante para comentar algunos detalles no muy conocidos del movimiento de la Tierra en torno al Sol.

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La Tierra gira en torno al Sol en "un año". Esto se conoce como movimiento de traslación. Y gira sobre sí misma en "un día". Esto se conoce como movimiento de rotación.

Como decíamos el movimiento de traslación sucede en un plano. Supongamos por ahora que el eje de rotación de la Tierra sobre sí misma sea perpendicular a ese plano. La Tierra tarda "un día", o sea 24 horas en girar sobre sí misma una vuelta exacta. Mientras giró pasó un día y avanzó casi un grado en su movimiento alrededor del Sol (Observen que utilizamos 360 grados para señalar un giro completo y los días son aproximadamente 365, justamente ese es el origen). Entonces el Sol no está exactamente en la misma posición relativa. Como los dos giros son en la misma dirección estará más o menos un grado adelantado. Por esto en las tablas figura como período de rotación 0.99726968 días = 23h56'4". O sea, este es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta exacta sobre sí misma. Para medir esto no hay que tomar al Sol como referencia, porque se nos confunde con el movimiento de traslación. Se toma como referencia un objeto, estrella o galaxia, muy lejana (esto se conoce como "estrellas fijas") y se mide cuánto tarda en ocupar la misma posición relativa (Esto se conoce como día sidéreo). El día solar es lo que dura en promedio 24hs y utilizamos habitualmente.

Como sabemos el eje de rotación está inclinado aproximadamente 23°, supongamos que el eje está fijo (ya veremos que no). O sea, la tierra gira con su movimiento de traslación en torno al Sol manteniendo este eje paralelo a sí mismo. Entonces hay un momento del año en que el hemisferio sur está más volcado hacia el Sol, es el solsticio de verano (del hemisferio sur), cae el 21 o 22 de diciembre. Ese día (en el sentido de 24hs) el hemisferio sur tiene su día (en el sentido del día y la noche) más largo. Son más horas de luz, el Sol se ve más alto sobre el horizonte, los rayos caen más perpendicularmente; comienza el verano. Del mismo modo, cuando pasa por el otro lado de la órbita, el 20 o 21 de junio, es el solsticio de invierno. Es el día más corto (la noche más larga), el Sol está más bajo sobre el horizonte; comienza el invierno. En el hemisferio norte, claramente, es al revés. En los trópicos, correspondientes, el Sol cae perpendicularmente el medio día del solsticio de verano. En los lugares más próximos a los polos que el trópico (de latitud 23° a 90°) nunca cae perpendicularmente.

Entre ambos solsticios hay un punto en que el día tiene la misma duración que la noche. (El eje estará inclinado en dirección perpendicular al segmento Tierra-Sol). Estos puntos se conocen como equinoccios ("noche igual"). Caen entre el 19 y 21 de marzo y el 21 y 24 de septiembre. Estos días decimos, en el hemisferio sur, que comienzan el otoño y la primavera respectivamente.

Resumiendo la inclinación del eje de rotación de la Tierra genera que los rayos del Sol no caigan con el mismo ángulo y haya más horas de luz según la época del año. En base a esos puntos geométricos de la órbita determinamos las estaciones.

Cuando comencé a interesarme por estos temas me formulé la siguiente pregunta: el día más caluroso del año, en el hemisferio sur, suele ser en enero. ¿Por qué no es el 21 de diciembre, cuando comienza el verano? (que es el día con más horas de Sol del año). Respuesta: el día más caluroso se genera por el recalentamiento de la corteza terrestre. Por esto el máximo de calor viene luego del máximo de luz.

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Lo que conocemos como "año" es el "año trópico", se cuenta desde un equinoccio hasta el siguiente del mismo tipo. Por ejemplo, desde que comienza la primavera hasta que comienza la siguiente primavera. Tiene una duración de 365.242189 días = 365d 5h 48' 45". Como el año calendario tiene normalmente 365 días cada año sobra una fracción de 0.242.. día. Podemos decir, aproximadamente, que cada 4 años sobra un día. Por esto los años múltiplos de 4 son "bisiestos" y se agrega el 29 de febrero.

Esto funcionaría perfecto si el año trópico durase exactamente 365.25 días. Pero vimos que dura un poco menos: 365.242.. días. Tenemos cada 4 años un déficit de 0.031 días. Puede parecer poco pero al cabo de 400 años es un déficit de aproximadamente 3.1 días.

Antiguamente se utilizaba el calendario juliano, con años de 365 días y cada cuatro un año bisiesto de 366. Pero se fue acumulando dicho déficit. El mismo originaría que, en el hemisferio sur, el equinoccio que marca el inicio de la primavera caiga en agosto. Para corregir esto se adoptó el calendario gregoriano, que es el que actualmente utilizamos. Implicó saltar del 4 de octubre de 1582 al 15 de octubre de dicho año, para corregir el déficit. Además, desde ese momento los años múltiplo de 100 pero no de 400 no son bisiestos. O sea, 1900 no fue bisiesto, 2000 sí lo fue y 2100 no lo será. Con esto se corrige el déficit de 3 días cada 400 años.

Desde luego las conexiones entre la órbita y el calendario son muchas. En la antigüedad era común realizar fiestas los días de los solsticios. Piensen que, durante el otoño, los días son cada vez más cortos hasta que, pasado el solsticio de invierno, comienzan a ser cada vez más largos. Es un buen motivo para festejar. Del mismo modo, la noche del solsticio de verano es la más corta del año. Casi una invitación a pasarla sin dormir.

Estas fiestas evolucionaron (o degeneraron) en las fechas y festejos de año nuevo y Navidad, cercanas al solsticio de verano del hemisferio norte. Y la fiesta de San Juan, cercana al solsticio de invierno.

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Hemos dicho que las órbitas de los planetas son elipses. Pero elipses muy cercanas a circunferencias. Cuando la Tierra se encuentra más cerca del Sol, perihelio, la distancia al mismo es de 147.10 millones de Km. Cuando se encuentra más lejos de Sol, afelio, dista 152.10 millones de Km. La diferencia es aproximadamente un 3%. Esta diferencia no suele provocar cambios apreciables, en el día a día, en la radiación solar recibida. La principal diferencia en la superficie de la Tierra se debe al ángulo de incidencia que varía con las estaciones.

Se denomina "excentricidad" a cuanto una circunferencia se parece a una elipse (es un índice diferente al que hemos calculado). Así figura en las tablas de datos de planetas. Del Sistema Solar el planeta con la órbita más excéntrica es Mercurio cuya diferencia es del orden del 40%. Fue quién le dio la pista a Kepler que las órbitas eran elípticas.

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Hay un efecto apreciable en el hecho que la órbita sea elíptica aunque suele pasar desapercibido. Como dijimos, por conservación del impulso angular, cuando el planeta está más lejos del Sol tiene que girar más lento (y cuando está más cerca más rápido). Por tanto medio año la Tierra se traslada más rápido que el otro medio año. Entonces, como las estaciones no están regidas por la ubicación del afelio y el perihelio, habrá algunas que duren más que otras.

El afelio cae el 4 de julio (2020), próximo al solsticio de invierno del hemisferio sur, y el perihelio el 4 de enero. O sea la Tierra está más lejos del Sol cuando es otoño o invierno en el hemisferio sur. Por tanto los inviernos son más largos que los veranos (o los inviernos son más largos en hemisferio sur que en el hemisferio norte).

Hagamos una cuenta simple. Este año, 2020, el equinoccio de marzo cayó el 20 a las 0:50; el equinoccio de septiembre caerá el 22 a las 10:31 (Datos según: https://es.wikipedia.org/wiki/Equinoccio, hora de Buenos Aires (GMT-3)). Entonces, con un poco de cuidado hacemos la resta de las fechas: 186 días con 9 horas y 41 minutos, esta es la duración del otoño-invierno. Por otro lado el resto del año, la primavera-verano dura (365 días, 5 horas y 48 minutos menos lo anterior): 178 días con 20 horas y 7 minutos. Obtenemos que el otoño-invierno dura 7 días y medio más que la primavera-verano.

Ya que estamos calculamos la duración de todas las estaciones. Otoño: 92.7 días, invierno: 93.7 días, primavera: 89.8 días, verano: 89.0 días.

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Hasta aquí hemos analizado los dos principales movimientos de la Tierra. La rotación sobre su eje, que da lugar a los días. Y la traslación a lo largo de la órbita, que da lugar al año y la sucesión de las estaciones. El siguiente movimiento en importancia es el de precesión. Esto es: la Tierra rota diariamente en torno a un eje que está inclinado aproximadamente 23°. Dicho eje rota a su vez, completando una vuelta cada 25776 años (manteniendo su inclinación aproximada de 23°). Aquí tenemos nuevamente la situación de dos giros superpuestos. Como antes teníamos el día sidéreo y el día solar; ahora tendremos el año trópico y el año sidéreo. El año trópico, el que utilizamos, toma como referencia el eje de rotación. Al cabo de un año, este eje se habrá movido, entonces el siguiente equinoccio de septiembre no caerá en el mismo punto de la órbita. El año sidéreo es lo que tarda la Tierra en volver al mismo punto de la órbita, tomando como referencia las estrellas lejanas. El año trópico dura: 365.242189 días y el año sidéreo 365.256363 días. Esta diferencia hace que, por ejemplo, el afelio, que este año cayó el 4 de julio, vaya dando una vuelta al año. Una vuelta cada 25776 años. Esto se conoce como la precesión de los equinoccios. O sea, dentro de 130 siglos tendremos en el hemisferio sur un verano más largo que el invierno.

El siguiente movimiento en importancia es el de nutación. Esto genera que el eje de rotación no sea siempre de 23°. Los movimientos de rotación (diaria), precesión y nutación se asemejan bastante al movimiento de un trompo.


Referencias:
Datos del Sistema Solar:
https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Datos_de_los_planetas_del_sistema_solar

En general la explicación de todos los movimientos está muy bien en wikipedia.

Sobre el calendario y su historia, es muy bueno el artículo "Los días de nuestros años" de Asimov, perteneciente a "De los números y su historia".

Confinados al éxito

Hay un fenomeno físico muy cotidiano que me resulta sorprendente: las transiciones de fase. Tenemos agua en un vaso, líquida a temperatura ambiente, la ponemos en el freezer (congelador) bajará su temperatura y se congelará. El agua pasa de líquida a sólida sin ponerse cada vez más viscosa (como lo haría un helado). En la transición, a 0 C (Celsius o grados centígrado) conviven las dos fases. Tan abrupta y clara son estas transiciones que se utilizan para definir la escala de temperatura (Celsius). Lo mismo podríamos decir del pasaje de líquido a gas.

Es muy sorprendente que el agua sea líquida a temperatura ambiente, un sólido muy duro (hielo) por debajo de los 0 C y la molécula de agua sea siempre la misma. Según sea la temperatura emerge un comportamiento colectivo u otro, muy distintos entre sí. No es de extrañar, la temperatura es la energía media de las moléculas. ¡Lo continuo se discretiza!

Los primeros días de confinamiento intuí que la evolución de la epidemia tendría un comportamiento similar a una transición de fase.

Percolar.

Para ver un primer ejemplo de este tipo de transiciones hagamos una pequeña simulación. Un modelo de juguete un tanto académico. Supongamos que tenemos un cristal bidimensional, una grilla de moléculas o mejor celdas. Según algún parámetro estas celdas tienen cierta probabilidad de ser conductores o no (de algún fluido). Nos interesa saber cuál es la probabilidad de que ese fluido pueda pasar a través del cristal (percolar).

Es una simulación muy simple. Armamos una grilla, por ejemplo de 40x20. Elegimos una probabilidad, por ejemplo 0.4, y sorteamos cada una de las celdas si conducen o no. Nos queda una imagen como la siguiente:

Luego vemos si hay un camino desde un extremo (inferior) a otro (superior). Vemos que en el caso de la figura, no hay. Si hubieramos elegido otra probabilidad, más elevada, por ejemplo 0.6; podríamos obtener la figura:

y vemos que sí hay un camino (en rojo). Podemos intuir que si la probabilidad de que una celda conduzca es baja será baja la probabilidad de percolar; y si la probabilidad de que la celda conduzca es alta será alta la probabilidad de percolar. Entre medio habrá valores que a veces percola y a veces no. Entonces, hacemos un gráfico. Para cada probabilidad de la celda, de 0 a 1, ejecutamos muchas veces (5000) nuestra simulación, y contamos cuantas veces percola y cuantas no. De este modo determinamos la probabilidad de que todo el cristal conduzca en función de la probabilidad de que lo haga una celda. Obtenemos un gráfico como el siguiente:

Probabilidad de que el cristal conduzca en función de que lo haga una celda. Cada punto es el promedio de 5000 simulaciones.

Vemos que, entre 0.5 y 0.7, se produce un cambio abrupto... similar a una transición de fase. En cierto rango, un pequeño cambio de una propiedad de la celda genera un gran cambio en una propiedad de todo el cristal. Con esto en mente, cumpliendo los primeros días de aislamiento, intuí que la propagación de la pandemia tendría un comportamiento similar.

Pademia de juguete, modelo.

Hagamos un modelo de juguete de pandemia. Voy resaltando en negrita los parámetros de la simulación.

Para comenzar supongamos que las personas tienen una ubicación geográfica. (Puede ser que esto no sea necesario pero no considerarlo inicialmente me pareció que mi modelo sería muy de juguete). Tenemos un mapa de 2x1 (dimensiones y topologia del mapa), cada persona tiene una posición fija. Para eliminar efectos de borde unimos arriba con bajo e izquierda con derecha (nos queda como un toro (anillo)). Ubicamos al azar en ese mapa muchas personas (1000) (cantidad de personas).

Las personas pueden estar enfermas o sanas. Se podría complejizar considerando un período de incubación, de contagio, etc. Insisto, este es un modelo de juguete no realista.

Esta vez la simulación evolucionará en el tiempo. En cada período de tiempo (iteración) las personas se enferman, se sanan, contagian, etc.
Las personas tendrán contactos entre sí y en cada contacto habrá una probabilidad de contagio (desde luego si uno está enfermo y el otro sano).
Las personas harán una cantidad de contactos por unidad de tiempo (por iteración). Este es el parámetro que me interesa estudiar. Intuyo que la propagación de la epidemia depende fuertemente de este parámetro. El contacto es más probable con personas cercanas que lejanas.

Hay muchas maneras de controlar e ir variando la cantidad de contactos. Hice lo siguiente. Sorteé dos personas de mi población (variando entre 0 y 25000 por iteración). Según fuera la distancia entre esas dos personas (recuerden que tenían una posición en el mapa) hay una probabilidad de que el contacto se produzca efectivamente. Elegí una distribución normal con desviación tipica = 0.3, (media = 0, desde luego). Dado que es indirecto el modo de producir los contactos, medí a posteriori los contactos efectivos. (Luego del contacto está la probabilidad de que se produzca el contagio).

Otro parámetro es la duración de la infección, sería para nosotros durante cuanto tiempo contagia. Este parámetro definirá la escala de tiempo, sin problemas podemos elegirlo igual a 1 iteración. O sea, en una iteración está sano y se contagia, la siguiente está infectado y contagia, la siguiente está sano nuevamente.

Por último agregué la condición, típica en muchas enfermedades, que una vez curada la persona no vuelve a enfermarse. Para el coronavirus no está todavía claro que sea así. Esta condición no se da en una transición de fase, las moléculas no tienen memoria (aquí nos diferenciamos mucho de las transiciones de fase).

Una simulación consta de los siguientes pasos:

• Ubicar a las personas en el mapa.
• Marcar como infectados a una pequeña cantidad (1%).
• Iterar hasta que no haya más infectados:

• Producir los contactos, para cada uno: si uno está enfermo y el otro sano (y no había estado enfermo) determinar si se contagia o no (si se contagia estará infectado en la próxima iteración).
• Sanar a los que estaban infectados e infectar a los que se contagiaron.

Todo el modelo tiene que depender de casi un único parámetro que es el producto: duración de la infección x probabilidad de contagio x contactos efectivos. Eso es a cuántas personas contagia cada enfermo (Ver PostData sobre el R0). Variar los tres no aporta mucho. En la práctica la probabilidad de contagio es una característica intrínseca del virus, no se puede cambiar. (Podemos sí, claro, mejorar nuestros hábitos lavandonos periódicamente las manos, no tocandonos la cara, etc. y de hecho bajarla). Elegí una probablidad de contagio de 0.5 y la dejé fija.

El parámetro duración de la infección define la escala de tiempos, deberíamos decir cuántas iteraciones. Como el otro parámetro, contactos efectivos, también es por unidad de tiempo, podemos elegir sin problemas la duración de la infección = 1 iteración (es más fácil de implementar).

Resultados.

Corremos la simulación una vez y obtenemos la curva, maléfica: cantidad de infectados vs. unidad de tiempo.

Cantidad de infectados por unidad de tiempo (iteración) para una simulación típica. En este caso para 13000 posibles contactos lo que dió 3.33 contactos efectivos.


De cada simulación obtendremos una curva como la anterior, de la cual nos interesa saber:

• Cuántos infectados hubo en total  (superficie bajo la curva).

• Cuántos infectados hubo en el máximo (esta es la medida del colapso del sistema de salud).

Repetimos miles de veces la simulación variando el parámetro que regula la cantidad de contactos y obtenemos (cada simulación es un puntito en el siguiente gráfico):

Cantidad total de infectados (rojo) y cantidad máxima de infectados (azul) en función de la cantidad de contactos efectivos.

(En este gráfico he variado la cantidad de posibles contactos de 0 a 25000 de uno en uno e hice una simulación por cada valor. Obteniendo estos gráficos de densidades, que me gustan especialmente. Una alternativa, tal vez más prolija, es variar la cantidad de posibles contactos de 0 a 25000 de 1000 en 1000 y por cada valor hacer 1000 simulaciones, luego promediar los valores).

En el gráfico se ven la cantidad total de infectados (en rojo) y la cantidad máxima de infectados (en azul), ambos porcentajes, en función de los contactos efectivos. Vemos, que apartir de 1.5 contactos efectivos la cantidad de infectados totales comienza a crecer mucho más rápido. Lo mismo ocurre con la cantidad máxima de infectados superando los 2 contactos efectivos, que empieza a crecer linealmente.

Vemos también que superados los 3 contactos efectivos la epidemia se detiene porque la mayoría de la población se ha infectado, o sea porque entra en juego la condición que una persona no se infecte dos veces.

Conclusión.

Si bien este modelo no es para nada realista en probabilidades de contagio, tiempos, etc. muestra la importancia del confinamiento. Hay un valor límite, que desconocemos, a partir del cual si todos hacemos un contacto de más podemos provocar el desastre (por ejemplo, hacer que la cantidad de infectados total suba considerablemente). En estos días, como se dice en el fútbol, no hay que hacer una jugada de más.

PD: Varios días después de esta simulación publicó La Nación (Coronavirus en la Argentina: R0, el número que tiene en vilo a Fernández, Rodríguez Larreta y Kicillof) una nota sobre el R0 (número reproductivo básico), que mide "a cuántas personas en promedio contagia un infectado". Para esta simulación estaba dado por el producto: duración de la infección x probabilidad de contagio x contactos efectivos. La cantidad total de infectados y el pico de la curva dependen fuertemente de ese valor.

Newton y su año milagroso.

En estos días de coronavirus y quedarse en casa, recordé esta historia.

A mediados de 1665 comenzó lo que se llamaría la "Gran peste de Londres". Se extendió hasta fines de 1666. Se cobró más de una quinta parte de la población de Londres (unas 70000 personas). Se considera que fue un rebrote de la "peste negra", que diezmó Europa entre 1347 y 1353.

En esta ocación quienes pudieron huyeron de los grandes centros urbanos. La universidad de Cambridge cerró a causa de la plaga. Entonces el joven Newton de 23 años se refugió en una finca familiar de Woolsthorpe-by-Colsterworth. Pasó allí, aislado, 18 meses. En ese tiempo germinaron en él las ideas para el cálculo integral y diferencial, la mecánica, la ley de gravitación universal y una teoría de los colores de la luz.

Fuentes:
Newton y la peste.
1666: EL AÑO MILAGROSO DE NEWTON