A mi modesto entender la idea que se tiene de la Matemática en nuestros colegios primarios es bastante infantil. Matemática no es hacer cuentas. La matemática se parece más a resolver un rompecabezas que a hacer una cuenta.
Hacer cuentas es una pavada. 1 + 1 es siempre 2. ¿Qué gracia tiene? Es aburrido. Es como hacer una torta siguiendo una receta y no poderla cambiar ni un poquito. La tercer vez que hice la misma torta del mismo modo, me aburrí. La matemática es otra cosa, algo mucho más divertido.
Entonces, ¿qué es la matemática? Es una ciencia exácta. Que sea una ciencia quiere decir que su finalidad es estudiar. Estudia las propiedades de los números, los conjuntos, y varios otros "objetos matemáticos". Y es una ciencia exácta. Eso quiere decir que no se hacen experimentos como en las ciencias naturales, la física, la química y la biología por ejemplo. O sea que NO se basa en la observación de la naturaleza. La matemática trata de descubrir, como un detective, propiedades de los elementos y conjuntos que estudia.
Veamos un ejemplo. ¿Cómo hacen para saber si un número es múltiplo de 3? La primer posibilidad es dividirlo por 3 y si el resto es 0, el número es múltiplo. Por ejemplo: 15, 15 / 3 = 5 y el resto es 0. entonces es múltiplo de 3. O 22, 22 / 3 = 7 y el resto es 1, entonces no es múltiplo de 3. Hasta acá viene fácil. Pero, ¿cómo hacen para saber si 128374124783943 es múltiplo de 3? Podrían dividirlo... pero es mucho trabajo... Hay una forma más facil de saber. Hay una regla, una receta, dice así: se suman las cifras del número si el resultado es múltiplo de 3 el número original es múltiplo de 3. Veamos un ejemplo, fácil:
Numero original: 15
Suma de las cifras: 1 + 5 = 6, ES múltiplo de 3 (3 x 2), entonces el número original (15) ES múltiplo de 3.
Otro ejemplo:
Numero original: 22
Suma de las cifras: 2 + 2 = 4, NO ES múltiplo de 3 (3 x 1 + 1), entonces el número original (22) NO ES múltiplo de 3.
Y ahora probemos con el número grande:
Número original: 128374124783943
Suma de cifras: 1 + 2 + 8 + 3 + 7 + 4 + 1 + 2 + 4 + 7 + 8 + 3 + 9 + 4 + 3 = 65, NO ES múltiplo de 3 (3 x 22 + 1) [pueden volver a aplicar la regla]
Fenomeno, una pavada. Seguramente la mayoría de ustedes ya sabía este truco, esta regla. Pero, ahora viene lo divertido: ¿por qué? ¿Por qué funciona la regla? ¿Es mágia? Noooooooooooo. ¡Es matemática! ¿Por qué un número es múltiplo de 3 sí y sólo sí la suma de sus cifras es múltiplo de 3? Ahora vamos a ver por qué. Digamos que es una propiedad de los números naturales, de tooooooodos los números naturales. Es algo que se puede demostrar. Por medio de un cuidadoso razonamiento vamos a demostrar (ver, dejar en claro) que toooodos los números naturales cumplen con esa propiedad.
Vamos a demostrar que toooodos los números naturales cuya suma de cifras es múltiplo de 3, el número original también lo es.
[también se puede demostrar la inversa, o sea al reves, que para todo múltiplo de 3 la súma de sus cifras es también multiplo de 3]
Bueno, ¿están preparados? Esto es matemática de verdad. Para demostar los matemáticos ordenan sus razonamientos en algo que llaman teorema. El teorema tiene una parte que se llama hipótesis y es lo que quiero demostrar. Entonces, nuestra hipótesis es, que todos los números cuya suma de cifras son múltiplo de 3, el número también lo es.
Otra parte del teorema es la tesis. Esta formada por todo lo que yo ya sé [O sea, ya lo demostré antes]. Nuestra tesis será: saber descomponer un número en base 10 y saber qué es un múltiplo. Si ustedes no saben algo de esto no podemos seguir porque no van a entender ni medio.
¿Cómo vamos a hacer esto? Una posibilidad sería ver si se cumple para 1, después para 2, después para 3... y así para toooodos los números, pero no terminaríamos más.
Los matemáticos tienen un lenguaje que los ayuda a hablar y pensar de tooodos los números al mismo tiempo. Al principio puede resultar difícil, pero eso es lo divertido, lo hermoso. ¿Cómo pensar en tooodos los números al mismo tiempo sin que explote la cabeza?
La demostración es la parte del teorema en que mediante razonamientos llegamos desde la tesis (lo que sabemos) a la hipótesis (lo que todavía no sabemos del todo). Veamos.
Demostración: Para hacerlo fácil vamos a suponer que tenemos un número de 4 cifras, pero como verán el mismo razonamiento se puede aplicar a cualquiér número de cifras. En ese lenguaje, que usan los matemáticos, para pensar en todos los números al mismo tiempo sin que les explote la cabeza, suelen representar un número con una letra. Nosotros vamos a hacer lo mismo porque esto es matemática de verdad. Nuestro número de 4 cifras lo vamos a representar así: abcd. abcd representa cualquier número de 4 cifras, representa 2005, 1810, 1492, cualquiera. Si abcd = 1810, entonces a = 1, b = 8, c = 1, d = 0.
Nosotros queríamos demostrar que si la suma de cifras de un número es multiplo de 3 entonces el número también lo es. O sea en nuestro lenguaje eso se dice así:
Sí a + b + c + d es múltiplo de 3 entonces abcd es múltiplo de 3.
Los múltiplos de 3 son los números de la forma 3 x n, donde n es cualquier número natural. Nuestra hipótesis dicha de este modo matemático sería:
Sí a + b + c + d = 3 x m, entonces abcd = 3 x n, donde m y n son números naturales.
Hasta ahora, no hicimos nada, es solo un lenguaje, una manera de decir las cosas... Muchas veces en la ciencia la mitad de la resolución de un problema pasa por expresarlo claramente.
Ahora viene el oficio del matemático, la viveza para de a + b + c + d = 3 x m llegar a abcd = 3 x n. Como si estuvieramos en un laberinto hay que buscar el camino.... me quedé pensando... de a + b + c + d tenemos que llegar a abcd.... mmm... abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d... entonces hagamos esto:
teníamos que:
a + b + c + d = 3 x m
sumemos a x 999 + b x 99 + c x 9 a cada lado del igual, nos queda:
a + b + c + d + a x 999 + b x 99 + c x 9 = 3 x m + a x 999 + b x 99 + c x 9
agrupando:
a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = 3 x m + a x 999 + b x 99 + c x 9
a la izquierda del igual nos quedó abcd (era lo que quería), entonces:
abcd = 3 x m + a x 999 + b x 99 + c x 9
veamos que 3 x m, es múltiplo de 3 (por 3); a x 999 es múltiplo de 3 (porque 999 es múltiplo de 9 y 9 es múlpliplo de 3), b x 99 es múltiplo de 3 (porque 99 es múltiplo de 9 y 9 es múltiplo de 3) y que c x 9 es múltiplo de 3. Si sumamos 4 múltiplos de 3 el resultado es múltiplo de 3 (es una propiedad de los múltiplos)... Entonces, Oh!, 3 x m + a x 999 + b x 99 + c x 9 es múltiplo de 3... podemos escribirlo como 3 x n... y tenemos que:
abcd = 3 x n!! ¡¡Llegamos a dónde queríamos!!
Observaciones:
- Debieramos también demostrar "la vuelta". Demostramos que si a + b + c + d es múltiplo de 3 entonces abcd es múltiplo de 3 (Esa fue "la ida"). "La vuelta" sería demostrar que si abcd es múltiplo de 3 entonces a + b + c + d es múltiplo de 3. Cuando, en alguna propiedad, se cumple "la ida" y "la vuelta" se puede decir, por ejemplo en este caso: a + b + c + d es múltiplo de 3 sí y sólo sí abcd es múltiplo de 3. Un ejemplo más cotidiano: Si es perro tiene 4 patas (la ida), pero la vuelta no es cierta: si tiene 4 patas es perro... O si es perro, ladra (la ida); si ladra, es perro (la vuelta). Ambas se cumplen entonces podemos decir: Es perro sí y sólo sí ladra.
- Demostramos para los números de 4 cifras, en rigor debieramos hacer una demostración más general para cualquier número de cifras... No vale decir: - ah, si se cumple hasta el 9999 "se tiene que cumplir para todos los números". Nooooooooo... Atrás! hay que demostrarlo para todos los números.
Tarea para el hogar:
Quienes quieran jugar este gran juego les doy un par de ideas:
- Demostrar que todos los números que terminan en 0, 2, 4 u 8 son múltiplos de 2. (dificultad: media)
Durante nuestra dijimos un par de cosas que parecían obvias pero habría que demostrarlas:
- Si es múltiplo de 9 es múltiplo de 3. (dificultad: facil)
- Si el número tiene todos 9, por ejemplo, 9999, es múltiplo de 9. (dificultad: media).
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