—A este muchacho le falta una primavera —dijo. Explicó que habiendo nacido yo en verano, hacía un par de años se había producido un desequilibrio a raíz de mi viaje a Francia: los tres meses de otoño pasados allá me habían robado el equivalente de la primavera dejada acá; había pasado de un verano a un otoño, de un otoño a un invierno, y del invierno nuevamente al otoño —y otra vez el verano, que para mí fue casi inexistente. Sobraba un otoño, faltaba una primavera. La única solución era un viaje inmediato a París.
Fragmento de "Todo el tiempo" de Mario Levrero.
Describamos un poco en detalle la órbita de la Tierra en torno al Sol.
A esta altura del siglo XXI sostener que la Tierra es plana es una estupidez, hay muchas experiencias cotidianas que nos muestran que es redonda. No sé porqué, en la primaria nos decían que cuando Cristóbal Colón solicitó a los Reyes Católicos que patrocinen su expedición a "oriente por occidente" la discusión era si la Tierra era redonda o no. Esto es falso. Era obvio que la Tierra era redonda. La discusión era el tamaño que tenía. Colón eligió las estimaciones de menor tamaño, así el viaje era más corto y más viable (era lo que evaluarían los inversores). La estimación de Colón fue muy exigua, calculen que no llegó a Asia, tuvo la suerte de encontrar América en el camino. Aún así, llegó con lo justo (ya sin comida, etc.).
En cambio, argumentar en favor de que la Tierra gira en torno al Sol y no al revés es bastante más difícil. La teoría de Copérnico fue publicada en 1543, casi 500 años después un profesor de la facultad nos desafió a que hiciéramos una medición que lo muestre con "elementos domésticos", más aún los que había en ese laboratorio básico. No valía, claro, utilizar un buen telescopio. Hice la cuenta, de medir la paralaje respecto de las "estrellas fijas", con una cámara de fotos doméstica. Apenas alcazaba la resolución.
Determinar el movimiento relativo de la Tierra y el Sol le llevó a la humanidad varios siglos. Una vez que se pone el foco en el lugar correcto, no es un problema muy complejo. La Tierra y el Sol sufren una fuerza mutua que tiende a atraerlos, la fuerza de gravedad. Esto no es obvio. Hoy lo damos por hecho, pero fue bastante audaz en su momento suponer una fuerza que opere a la distancia. Admitida esta fuerza es lo más simple y simétrico suponer que la fuerza actúa en la dirección que une ambos cuerpos. Luego, supongamos que elegimos un sistema de referencia en el cual el Sol está fijo (termina siendo lo más razonable porque el Sol es mucho más pesado). La Tierra podría tener inicialmente cualquier velocidad. Entonces, en un momento dado, tenemos dos líneas: la que une el Sol con la Tierra y la que determina la velocidad de la Tierra. Sólo hay un plano que contiene estas dos líneas. Entonces, el movimiento de la Tierra en torno a Sol tiene que continuar en este plano. La Tierra no tiene modo de salirse.
Nos queda determinar que tan rápido gira y que tan lejos. El problema de las órbitas de los planetas termina reduciéndose a determinar la relación de tres variables: ángulo, radio y tiempo. Kepler fue quien descubrió estas relaciones analizando las observaciones de Tycho Brahe. Formuló las leyes de Kepler que son empíricas. La primera dice que las órbitas son elípticas, o sea relaciona el ángulo con el radio. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse. A Kepler le costó mucho descartar la circunferencia, se creía que los cielos eran perfectos y la única curva perfecta era la circunferencia. En esos tiempos se trataba de explicar los movimientos celestes como composición de movimientos circulares. Aquí vemos nuevamente que muchas veces la dificultad principal es descartar los preconceptos.
La segunda ley relaciona el ángulo con el tiempo, dice que el segmento imaginario entre el Sol y el planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales. Esto se conoce modernamente como la conservación del impulso angular. Así como algo que avanza sigue avanzando salvo que algo (una fuerza) lo frene, algo que gira sigue girando salvo que algo lo frene. Lo que nos interesa aquí es que, como la órbita es elíptica, la distancia al Sol no es siempre la misma. Entonces el planeta debe avanzar más rápido cuando está más cerca (y más lento cuando está más lejos).
Luego vino Newton, formuló la mecánica, la ley de gravedad y dedujo estas leyes de las suyas más básicas. Todo esto se aplica en general a cualquier par de cuerpos vinculados por la fuerza de gravedad, uno orbitando en torno al otro.
Con esta primera descripción tenemos bastante para comentar algunos detalles no muy conocidos del movimiento de la Tierra en torno al Sol.
La Tierra gira en torno al Sol en "un año". Esto se conoce como movimiento de traslación. Y gira sobre sí misma en "un día". Esto se conoce como movimiento de rotación.
Como decíamos el movimiento de traslación sucede en un plano. Supongamos por ahora que el eje de rotación de la Tierra sobre sí misma sea perpendicular a ese plano. La Tierra tarda "un día", o sea 24 horas en girar sobre sí misma una vuelta exacta. Mientras giró pasó un día y avanzó casi un grado en su movimiento alrededor del Sol (Observen que utilizamos 360 grados para señalar un giro completo y los días son aproximadamente 365, justamente ese es el origen). Entonces el Sol no está exactamente en la misma posición relativa. Como los dos giros son en la misma dirección estará más o menos un grado adelantado. Por esto en las tablas figura como período de rotación 0.99726968 días = 23h56'4". O sea, este es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta exacta sobre sí misma. Para medir esto no hay que tomar al Sol como referencia, porque se nos confunde con el movimiento de traslación. Se toma como referencia un objeto, estrella o galaxia, muy lejana (esto se conoce como "estrellas fijas") y se mide cuánto tarda en ocupar la misma posición relativa (Esto se conoce como día sidéreo). El día solar es lo que dura en promedio 24hs y utilizamos habitualmente.
Como sabemos el eje de rotación está inclinado aproximadamente 23°, supongamos que el eje está fijo (ya veremos que no). O sea, la tierra gira con su movimiento de traslación en torno al Sol manteniendo este eje paralelo a sí mismo. Entonces hay un momento del año en que el hemisferio sur está más volcado hacia el Sol, es el solsticio de verano (del hemisferio sur), cae el 21 o 22 de diciembre. Ese día (en el sentido de 24hs) el hemisferio sur tiene su día (en el sentido del día y la noche) más largo. Son más horas de luz, el Sol se ve más alto sobre el horizonte, los rayos caen más perpendicularmente; comienza el verano. Del mismo modo, cuando pasa por el otro lado de la órbita, el 20 o 21 de junio, es el solsticio de invierno. Es el día más corto (la noche más larga), el Sol está más bajo sobre el horizonte; comienza el invierno. En el hemisferio norte, claramente, es al revés. En los trópicos, correspondientes, el Sol cae perpendicularmente el medio día del solsticio de verano. En los lugares más próximos a los polos que el trópico (de latitud 23° a 90°) nunca cae perpendicularmente.
Entre ambos solsticios hay un punto en que el día tiene la misma duración que la noche. (El eje estará inclinado en dirección perpendicular al segmento Tierra-Sol). Estos puntos se conocen como equinoccios ("noche igual"). Caen entre el 19 y 21 de marzo y el 21 y 24 de septiembre. Estos días decimos, en el hemisferio sur, que comienzan el otoño y la primavera respectivamente.
Resumiendo la inclinación del eje de rotación de la Tierra genera que los rayos del Sol no caigan con el mismo ángulo y haya más horas de luz según la época del año. En base a esos puntos geométricos de la órbita determinamos las estaciones.
Cuando comencé a interesarme por estos temas me formulé la siguiente pregunta: el día más caluroso del año, en el hemisferio sur, suele ser en enero. ¿Por qué no es el 21 de diciembre, cuando comienza el verano? (que es el día con más horas de Sol del año). Respuesta: el día más caluroso se genera por el recalentamiento de la corteza terrestre. Por esto el máximo de calor viene luego del máximo de luz.
Lo que conocemos como "año" es el "año trópico", se cuenta desde un equinoccio hasta el siguiente del mismo tipo. Por ejemplo, desde que comienza la primavera hasta que comienza la siguiente primavera. Tiene una duración de 365.242189 días = 365d 5h 48' 45". Como el año calendario tiene normalmente 365 días cada año sobra una fracción de 0.242.. día. Podemos decir, aproximadamente, que cada 4 años sobra un día. Por esto los años múltiplos de 4 son "bisiestos" y se agrega el 29 de febrero.
Esto funcionaría perfecto si el año trópico durase exactamente 365.25 días. Pero vimos que dura un poco menos: 365.242.. días. Tenemos cada 4 años un déficit de 0.031 días. Puede parecer poco pero al cabo de 400 años es un déficit de aproximadamente 3.1 días.
Antiguamente se utilizaba el calendario juliano, con años de 365 días y cada cuatro un año bisiesto de 366. Pero se fue acumulando dicho déficit. El mismo originaría que, en el hemisferio sur, el equinoccio que marca el inicio de la primavera caiga en agosto. Para corregir esto se adoptó el calendario gregoriano, que es el que actualmente utilizamos. Implicó saltar del 4 de octubre de 1582 al 15 de octubre de dicho año, para corregir el déficit. Además, desde ese momento los años múltiplo de 100 pero no de 400 no son bisiestos. O sea, 1900 no fue bisiesto, 2000 sí lo fue y 2100 no lo será. Con esto se corrige el déficit de 3 días cada 400 años.
Desde luego las conexiones entre la órbita y el calendario son muchas. En la antigüedad era común realizar fiestas los días de los solsticios. Piensen que, durante el otoño, los días son cada vez más cortos hasta que, pasado el solsticio de invierno, comienzan a ser cada vez más largos. Es un buen motivo para festejar. Del mismo modo, la noche del solsticio de verano es la más corta del año. Casi una invitación a pasarla sin dormir.
Estas fiestas evolucionaron (o degeneraron) en las fechas y festejos de año nuevo y Navidad, cercanas al solsticio de verano del hemisferio norte. Y la fiesta de San Juan, cercana al solsticio de invierno.
Hemos dicho que las órbitas de los planetas son elipses. Pero elipses muy cercanas a circunferencias. Cuando la Tierra se encuentra más cerca del Sol, perihelio, la distancia al mismo es de 147.10 millones de Km. Cuando se encuentra más lejos de Sol, afelio, dista 152.10 millones de Km. La diferencia es aproximadamente un 3%. Esta diferencia no suele provocar cambios apreciables, en el día a día, en la radiación solar recibida. La principal diferencia en la superficie de la Tierra se debe al ángulo de incidencia que varía con las estaciones.
Se denomina "excentricidad" a cuanto una circunferencia se parece a una elipse (es un índice diferente al que hemos calculado). Así figura en las tablas de datos de planetas. Del Sistema Solar el planeta con la órbita más excéntrica es Mercurio cuya diferencia es del orden del 40%. Fue quién le dio la pista a Kepler que las órbitas eran elípticas.
Hay un efecto apreciable en el hecho que la órbita sea elíptica aunque suele pasar desapercibido. Como dijimos, por conservación del impulso angular, cuando el planeta está más lejos del Sol tiene que girar más lento (y cuando está más cerca más rápido). Por tanto medio año la Tierra se traslada más rápido que el otro medio año. Entonces, como las estaciones no están regidas por la ubicación del afelio y el perihelio, habrá algunas que duren más que otras.
El afelio cae el 4 de julio (2020), próximo al solsticio de invierno del hemisferio sur, y el perihelio el 4 de enero. O sea la Tierra está más lejos del Sol cuando es otoño o invierno en el hemisferio sur. Por tanto los inviernos son más largos que los veranos (o los inviernos son más largos en hemisferio sur que en el hemisferio norte).
Hagamos una cuenta simple. Este año, 2020, el equinoccio de marzo cayó el 20 a las 0:50; el equinoccio de septiembre caerá el 22 a las 10:31 (Datos según: https://es.wikipedia.org/wiki/Equinoccio, hora de Buenos Aires (GMT-3)). Entonces, con un poco de cuidado hacemos la resta de las fechas: 186 días con 9 horas y 41 minutos, esta es la duración del otoño-invierno. Por otro lado el resto del año, la primavera-verano dura (365 días, 5 horas y 48 minutos menos lo anterior): 178 días con 20 horas y 7 minutos. Obtenemos que el otoño-invierno dura 7 días y medio más que la primavera-verano.
Ya que estamos calculamos la duración de todas las estaciones. Otoño: 92.7 días, invierno: 93.7 días, primavera: 89.8 días, verano: 89.0 días.
Hasta aquí hemos analizado los dos principales movimientos de la Tierra. La rotación sobre su eje, que da lugar a los días. Y la traslación a lo largo de la órbita, que da lugar al año y la sucesión de las estaciones. El siguiente movimiento en importancia es el de precesión. Esto es: la Tierra rota diariamente en torno a un eje que está inclinado aproximadamente 23°. Dicho eje rota a su vez, completando una vuelta cada 25776 años (manteniendo su inclinación aproximada de 23°). Aquí tenemos nuevamente la situación de dos giros superpuestos. Como antes teníamos el día sidéreo y el día solar; ahora tendremos el año trópico y el año sidéreo. El año trópico, el que utilizamos, toma como referencia el eje de rotación. Al cabo de un año, este eje se habrá movido, entonces el siguiente equinoccio de septiembre no caerá en el mismo punto de la órbita. El año sidéreo es lo que tarda la Tierra en volver al mismo punto de la órbita, tomando como referencia las estrellas lejanas. El año trópico dura: 365.242189 días y el año sidéreo 365.256363 días. Esta diferencia hace que, por ejemplo, el afelio, que este año cayó el 4 de julio, vaya dando una vuelta al año. Una vuelta cada 25776 años. Esto se conoce como la precesión de los equinoccios. O sea, dentro de 130 siglos tendremos en el hemisferio sur un verano más largo que el invierno.
El siguiente movimiento en importancia es el de nutación. Esto genera que el eje de rotación no sea siempre de 23°. Los movimientos de rotación (diaria), precesión y nutación se asemejan bastante al movimiento de un trompo.
Referencias:
Datos del Sistema Solar:
https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Datos_de_los_planetas_del_sistema_solar
En general la explicación de todos los movimientos está muy bien en wikipedia.
Sobre el calendario y su historia, es muy bueno el artículo "Los días de nuestros años" de Asimov, perteneciente a "De los números y su historia".
lunes, 20 de julio de 2020
lunes, 13 de abril de 2020
Confinados al éxito
Hay un fenomeno físico muy cotidiano que me resulta sorprendente: las transiciones de fase. Tenemos agua en un vaso, líquida a temperatura ambiente, la ponemos en el freezer (congelador) bajará su temperatura y se congelará. El agua pasa de líquida a sólida sin ponerse cada vez más viscosa (como lo haría un helado). En la transición, a 0 C (Celsius o grados centígrado) conviven las dos fases. Tan abrupta y clara son estas transiciones que se utilizan para definir la escala de temperatura (Celsius). Lo mismo podríamos decir del pasaje de líquido a gas.
Es muy sorprendente que el agua sea líquida a temperatura ambiente, un sólido muy duro (hielo) por debajo de los 0 C y la molécula de agua sea siempre la misma. Según sea la temperatura emerge un comportamiento colectivo u otro, muy distintos entre sí. No es de extrañar, la temperatura es la energía media de las moléculas. ¡Lo continuo se discretiza!
Los primeros días de confinamiento intuí que la evolución de la epidemia tendría un comportamiento similar a una transición de fase.
Es una simulación muy simple. Armamos una grilla, por ejemplo de 40x20. Elegimos una probabilidad, por ejemplo 0.4, y sorteamos cada una de las celdas si conducen o no. Nos queda una imagen como la siguiente:
Luego vemos si hay un camino desde un extremo (inferior) a otro (superior). Vemos que en el caso de la figura, no hay. Si hubieramos elegido otra probabilidad, más elevada, por ejemplo 0.6; podríamos obtener la figura:
y vemos que sí hay un camino (en rojo). Podemos intuir que si la probabilidad de que una celda conduzca es baja será baja la probabilidad de percolar; y si la probabilidad de que la celda conduzca es alta será alta la probabilidad de percolar. Entre medio habrá valores que a veces percola y a veces no. Entonces, hacemos un gráfico. Para cada probabilidad de la celda, de 0 a 1, ejecutamos muchas veces (5000) nuestra simulación, y contamos cuantas veces percola y cuantas no. De este modo determinamos la probabilidad de que todo el cristal conduzca en función de la probabilidad de que lo haga una celda. Obtenemos un gráfico como el siguiente:
Probabilidad de que el cristal conduzca en función de que lo haga una celda. Cada punto es el promedio de 5000 simulaciones.
Vemos que, entre 0.5 y 0.7, se produce un cambio abrupto... similar a una transición de fase. En cierto rango, un pequeño cambio de una propiedad de la celda genera un gran cambio en una propiedad de todo el cristal. Con esto en mente, cumpliendo los primeros días de aislamiento, intuí que la propagación de la pandemia tendría un comportamiento similar.
Para comenzar supongamos que las personas tienen una ubicación geográfica. (Puede ser que esto no sea necesario pero no considerarlo inicialmente me pareció que mi modelo sería muy de juguete). Tenemos un mapa de 2x1 (dimensiones y topologia del mapa), cada persona tiene una posición fija. Para eliminar efectos de borde unimos arriba con bajo e izquierda con derecha (nos queda como un toro (anillo)). Ubicamos al azar en ese mapa muchas personas (1000) (cantidad de personas).
Las personas pueden estar enfermas o sanas. Se podría complejizar considerando un período de incubación, de contagio, etc. Insisto, este es un modelo de juguete no realista.
Esta vez la simulación evolucionará en el tiempo. En cada período de tiempo (iteración) las personas se enferman, se sanan, contagian, etc.
Las personas tendrán contactos entre sí y en cada contacto habrá una probabilidad de contagio (desde luego si uno está enfermo y el otro sano).
Las personas harán una cantidad de contactos por unidad de tiempo (por iteración). Este es el parámetro que me interesa estudiar. Intuyo que la propagación de la epidemia depende fuertemente de este parámetro. El contacto es más probable con personas cercanas que lejanas.
Hay muchas maneras de controlar e ir variando la cantidad de contactos. Hice lo siguiente. Sorteé dos personas de mi población (variando entre 0 y 25000 por iteración). Según fuera la distancia entre esas dos personas (recuerden que tenían una posición en el mapa) hay una probabilidad de que el contacto se produzca efectivamente. Elegí una distribución normal con desviación tipica = 0.3, (media = 0, desde luego). Dado que es indirecto el modo de producir los contactos, medí a posteriori los contactos efectivos. (Luego del contacto está la probabilidad de que se produzca el contagio).
Otro parámetro es la duración de la infección, sería para nosotros durante cuanto tiempo contagia. Este parámetro definirá la escala de tiempo, sin problemas podemos elegirlo igual a 1 iteración. O sea, en una iteración está sano y se contagia, la siguiente está infectado y contagia, la siguiente está sano nuevamente.
Por último agregué la condición, típica en muchas enfermedades, que una vez curada la persona no vuelve a enfermarse. Para el coronavirus no está todavía claro que sea así. Esta condición no se da en una transición de fase, las moléculas no tienen memoria (aquí nos diferenciamos mucho de las transiciones de fase).
Una simulación consta de los siguientes pasos:
Todo el modelo tiene que depender de casi un único parámetro que es el producto: duración de la infección x probabilidad de contagio x contactos efectivos. Eso es a cuántas personas contagia cada enfermo (Ver PostData sobre el R0). Variar los tres no aporta mucho. En la práctica la probabilidad de contagio es una característica intrínseca del virus, no se puede cambiar. (Podemos sí, claro, mejorar nuestros hábitos lavandonos periódicamente las manos, no tocandonos la cara, etc. y de hecho bajarla). Elegí una probablidad de contagio de 0.5 y la dejé fija.
El parámetro duración de la infección define la escala de tiempos, deberíamos decir cuántas iteraciones. Como el otro parámetro, contactos efectivos, también es por unidad de tiempo, podemos elegir sin problemas la duración de la infección = 1 iteración (es más fácil de implementar).
Cantidad de infectados por unidad de tiempo (iteración) para una simulación típica. En este caso para 13000 posibles contactos lo que dió 3.33 contactos efectivos.
De cada simulación obtendremos una curva como la anterior, de la cual nos interesa saber:
Repetimos miles de veces la simulación variando el parámetro que regula la cantidad de contactos y obtenemos (cada simulación es un puntito en el siguiente gráfico):
Cantidad total de infectados (rojo) y cantidad máxima de infectados (azul) en función de la cantidad de contactos efectivos.
(En este gráfico he variado la cantidad de posibles contactos de 0 a 25000 de uno en uno e hice una simulación por cada valor. Obteniendo estos gráficos de densidades, que me gustan especialmente. Una alternativa, tal vez más prolija, es variar la cantidad de posibles contactos de 0 a 25000 de 1000 en 1000 y por cada valor hacer 1000 simulaciones, luego promediar los valores).
En el gráfico se ven la cantidad total de infectados (en rojo) y la cantidad máxima de infectados (en azul), ambos porcentajes, en función de los contactos efectivos. Vemos, que apartir de 1.5 contactos efectivos la cantidad de infectados totales comienza a crecer mucho más rápido. Lo mismo ocurre con la cantidad máxima de infectados superando los 2 contactos efectivos, que empieza a crecer linealmente.
Vemos también que superados los 3 contactos efectivos la epidemia se detiene porque la mayoría de la población se ha infectado, o sea porque entra en juego la condición que una persona no se infecte dos veces.
PD: Varios días después de esta simulación publicó La Nación (Coronavirus en la Argentina: R0, el número que tiene en vilo a Fernández, Rodríguez Larreta y Kicillof) una nota sobre el R0 (número reproductivo básico), que mide "a cuántas personas en promedio contagia un infectado". Para esta simulación estaba dado por el producto: duración de la infección x probabilidad de contagio x contactos efectivos. La cantidad total de infectados y el pico de la curva dependen fuertemente de ese valor.
Es muy sorprendente que el agua sea líquida a temperatura ambiente, un sólido muy duro (hielo) por debajo de los 0 C y la molécula de agua sea siempre la misma. Según sea la temperatura emerge un comportamiento colectivo u otro, muy distintos entre sí. No es de extrañar, la temperatura es la energía media de las moléculas. ¡Lo continuo se discretiza!
Los primeros días de confinamiento intuí que la evolución de la epidemia tendría un comportamiento similar a una transición de fase.
Percolar.
Para ver un primer ejemplo de este tipo de transiciones hagamos una pequeña simulación. Un modelo de juguete un tanto académico. Supongamos que tenemos un cristal bidimensional, una grilla de moléculas o mejor celdas. Según algún parámetro estas celdas tienen cierta probabilidad de ser conductores o no (de algún fluido). Nos interesa saber cuál es la probabilidad de que ese fluido pueda pasar a través del cristal (percolar).Es una simulación muy simple. Armamos una grilla, por ejemplo de 40x20. Elegimos una probabilidad, por ejemplo 0.4, y sorteamos cada una de las celdas si conducen o no. Nos queda una imagen como la siguiente:
Luego vemos si hay un camino desde un extremo (inferior) a otro (superior). Vemos que en el caso de la figura, no hay. Si hubieramos elegido otra probabilidad, más elevada, por ejemplo 0.6; podríamos obtener la figura:
y vemos que sí hay un camino (en rojo). Podemos intuir que si la probabilidad de que una celda conduzca es baja será baja la probabilidad de percolar; y si la probabilidad de que la celda conduzca es alta será alta la probabilidad de percolar. Entre medio habrá valores que a veces percola y a veces no. Entonces, hacemos un gráfico. Para cada probabilidad de la celda, de 0 a 1, ejecutamos muchas veces (5000) nuestra simulación, y contamos cuantas veces percola y cuantas no. De este modo determinamos la probabilidad de que todo el cristal conduzca en función de la probabilidad de que lo haga una celda. Obtenemos un gráfico como el siguiente:
Vemos que, entre 0.5 y 0.7, se produce un cambio abrupto... similar a una transición de fase. En cierto rango, un pequeño cambio de una propiedad de la celda genera un gran cambio en una propiedad de todo el cristal. Con esto en mente, cumpliendo los primeros días de aislamiento, intuí que la propagación de la pandemia tendría un comportamiento similar.
Pademia de juguete, modelo.
Hagamos un modelo de juguete de pandemia. Voy resaltando en negrita los parámetros de la simulación.Para comenzar supongamos que las personas tienen una ubicación geográfica. (Puede ser que esto no sea necesario pero no considerarlo inicialmente me pareció que mi modelo sería muy de juguete). Tenemos un mapa de 2x1 (dimensiones y topologia del mapa), cada persona tiene una posición fija. Para eliminar efectos de borde unimos arriba con bajo e izquierda con derecha (nos queda como un toro (anillo)). Ubicamos al azar en ese mapa muchas personas (1000) (cantidad de personas).
Las personas pueden estar enfermas o sanas. Se podría complejizar considerando un período de incubación, de contagio, etc. Insisto, este es un modelo de juguete no realista.
Esta vez la simulación evolucionará en el tiempo. En cada período de tiempo (iteración) las personas se enferman, se sanan, contagian, etc.
Las personas tendrán contactos entre sí y en cada contacto habrá una probabilidad de contagio (desde luego si uno está enfermo y el otro sano).
Las personas harán una cantidad de contactos por unidad de tiempo (por iteración). Este es el parámetro que me interesa estudiar. Intuyo que la propagación de la epidemia depende fuertemente de este parámetro. El contacto es más probable con personas cercanas que lejanas.
Hay muchas maneras de controlar e ir variando la cantidad de contactos. Hice lo siguiente. Sorteé dos personas de mi población (variando entre 0 y 25000 por iteración). Según fuera la distancia entre esas dos personas (recuerden que tenían una posición en el mapa) hay una probabilidad de que el contacto se produzca efectivamente. Elegí una distribución normal con desviación tipica = 0.3, (media = 0, desde luego). Dado que es indirecto el modo de producir los contactos, medí a posteriori los contactos efectivos. (Luego del contacto está la probabilidad de que se produzca el contagio).
Otro parámetro es la duración de la infección, sería para nosotros durante cuanto tiempo contagia. Este parámetro definirá la escala de tiempo, sin problemas podemos elegirlo igual a 1 iteración. O sea, en una iteración está sano y se contagia, la siguiente está infectado y contagia, la siguiente está sano nuevamente.
Por último agregué la condición, típica en muchas enfermedades, que una vez curada la persona no vuelve a enfermarse. Para el coronavirus no está todavía claro que sea así. Esta condición no se da en una transición de fase, las moléculas no tienen memoria (aquí nos diferenciamos mucho de las transiciones de fase).
Una simulación consta de los siguientes pasos:
- Ubicar a las personas en el mapa.
- Marcar como infectados a una pequeña cantidad (1%).
- Iterar hasta que no haya más infectados:
- Producir los contactos, para cada uno: si uno está enfermo y el otro sano (y no había estado enfermo) determinar si se contagia o no (si se contagia estará infectado en la próxima iteración).
- Sanar a los que estaban infectados e infectar a los que se contagiaron.
Todo el modelo tiene que depender de casi un único parámetro que es el producto: duración de la infección x probabilidad de contagio x contactos efectivos. Eso es a cuántas personas contagia cada enfermo (Ver PostData sobre el R0). Variar los tres no aporta mucho. En la práctica la probabilidad de contagio es una característica intrínseca del virus, no se puede cambiar. (Podemos sí, claro, mejorar nuestros hábitos lavandonos periódicamente las manos, no tocandonos la cara, etc. y de hecho bajarla). Elegí una probablidad de contagio de 0.5 y la dejé fija.
El parámetro duración de la infección define la escala de tiempos, deberíamos decir cuántas iteraciones. Como el otro parámetro, contactos efectivos, también es por unidad de tiempo, podemos elegir sin problemas la duración de la infección = 1 iteración (es más fácil de implementar).
Resultados.
Corremos la simulación una vez y obtenemos la curva, maléfica: cantidad de infectados vs. unidad de tiempo.De cada simulación obtendremos una curva como la anterior, de la cual nos interesa saber:
- Cuántos infectados hubo en total (superficie bajo la curva).
- Cuántos infectados hubo en el máximo (esta es la medida del colapso del sistema de salud).
Repetimos miles de veces la simulación variando el parámetro que regula la cantidad de contactos y obtenemos (cada simulación es un puntito en el siguiente gráfico):
(En este gráfico he variado la cantidad de posibles contactos de 0 a 25000 de uno en uno e hice una simulación por cada valor. Obteniendo estos gráficos de densidades, que me gustan especialmente. Una alternativa, tal vez más prolija, es variar la cantidad de posibles contactos de 0 a 25000 de 1000 en 1000 y por cada valor hacer 1000 simulaciones, luego promediar los valores).
En el gráfico se ven la cantidad total de infectados (en rojo) y la cantidad máxima de infectados (en azul), ambos porcentajes, en función de los contactos efectivos. Vemos, que apartir de 1.5 contactos efectivos la cantidad de infectados totales comienza a crecer mucho más rápido. Lo mismo ocurre con la cantidad máxima de infectados superando los 2 contactos efectivos, que empieza a crecer linealmente.
Vemos también que superados los 3 contactos efectivos la epidemia se detiene porque la mayoría de la población se ha infectado, o sea porque entra en juego la condición que una persona no se infecte dos veces.
Conclusión.
Si bien este modelo no es para nada realista en probabilidades de contagio, tiempos, etc. muestra la importancia del confinamiento. Hay un valor límite, que desconocemos, a partir del cual si todos hacemos un contacto de más podemos provocar el desastre (por ejemplo, hacer que la cantidad de infectados total suba considerablemente). En estos días, como se dice en el fútbol, no hay que hacer una jugada de más.PD: Varios días después de esta simulación publicó La Nación (Coronavirus en la Argentina: R0, el número que tiene en vilo a Fernández, Rodríguez Larreta y Kicillof) una nota sobre el R0 (número reproductivo básico), que mide "a cuántas personas en promedio contagia un infectado". Para esta simulación estaba dado por el producto: duración de la infección x probabilidad de contagio x contactos efectivos. La cantidad total de infectados y el pico de la curva dependen fuertemente de ese valor.
jueves, 19 de marzo de 2020
Newton y su año milagroso.
En estos días de coronavirus y quedarse en casa, recordé esta historia.
A mediados de 1665 comenzó lo que se llamaría la "Gran peste de Londres". Se extendió hasta fines de 1666. Se cobró más de una quinta parte de la población de Londres (unas 70000 personas). Se considera que fue un rebrote de la "peste negra", que diezmó Europa entre 1347 y 1353.
En esta ocación quienes pudieron huyeron de los grandes centros urbanos. La universidad de Cambridge cerró a causa de la plaga. Entonces el joven Newton de 23 años se refugió en una finca familiar de Woolsthorpe-by-Colsterworth. Pasó allí, aislado, 18 meses. En ese tiempo germinaron en él las ideas para el cálculo integral y diferencial, la mecánica, la ley de gravitación universal y una teoría de los colores de la luz.
Fuentes:
Newton y la peste.
1666: EL AÑO MILAGROSO DE NEWTON
A mediados de 1665 comenzó lo que se llamaría la "Gran peste de Londres". Se extendió hasta fines de 1666. Se cobró más de una quinta parte de la población de Londres (unas 70000 personas). Se considera que fue un rebrote de la "peste negra", que diezmó Europa entre 1347 y 1353.
En esta ocación quienes pudieron huyeron de los grandes centros urbanos. La universidad de Cambridge cerró a causa de la plaga. Entonces el joven Newton de 23 años se refugió en una finca familiar de Woolsthorpe-by-Colsterworth. Pasó allí, aislado, 18 meses. En ese tiempo germinaron en él las ideas para el cálculo integral y diferencial, la mecánica, la ley de gravitación universal y una teoría de los colores de la luz.
Fuentes:
Newton y la peste.
1666: EL AÑO MILAGROSO DE NEWTON
martes, 16 de octubre de 2018
Intereses creados
En estos días (meses, años), con altos índices de inflación solemos encontrarnos con ofertas del tipo: pague en 12 cuotas tanto, pero si paga todo ahora tiene un 15% de descuento. En general el ABL de la ciudad de Buenos Aires hace este ofrecimiento. ¿Qué conviene?
Supongamos que tenemos la plata para pagar en una sola cuota con el 15% de descuento. También tendremos seguramente la posibilidad de poner esa plata en un plazo fijo, con una tasa supongamos del 24%, y cada mes ir sacando para pagar las cuotas. ¿Qué conviene?
Quienes manejan estos problemas financieros tienen modos estándar de resolver estos problemas. Vayamos haciendolo con los dedos. Supongamos que el 1ro de enero tenemos 100$ y ponemos un plazo fijo a un mes (días más días menos) a una tasa de interés anual del 24%. A fin de mes tendremos nuestros 100$ iniciales más los intereses: 100$ x 0.24 / 12 = 100$ x 0.02 = 2$. Total, el 1ro de febrero: 102$. Ese mismo día hacemos un nuevo plazo fijo con los 102$. Repitiendo la cuenta tendremos el 1ro de marzo: 104.04$, y así... Observemos que como sumamos el interés al capital inicial (los 100$) cada mes los intereses son más. Así al 1ro de enero del año siguiente, luego de 12 plazos fijos de un mes, tendremos: 126.82$. Un modo, un poco más elegante de hacer la misma cuenta es: la tasa de interés del período (un mes) es 24% / 12 = 0.02. Entonces al cabo de un período el capital se multiplica por 1.02. Al cabo de 12 períodos se multiplica por 1.02 x 1.02 x .. x 1.02 (12 veces) = 1.02 ^ 12 = 1.2682. Se dice entonces que la tasa efectiva anual es de 26.82%. Observemos que es un poco más que el 24% anual inicial, y que el valor depende del período (de capitalización). Esta es la idea básica de lo que se denomina interés compuesto.
Para nuestro ejemplo concreto hay que hacer una cuenta parecida, pero un poco más compleja porque debemos ir retirando dinero para pagar las cuotas. Supongamos, como decíamos, que me ofrecen el 15% de descuento por pagar en efectivo en el momento, o sino, 12 cuotas iguales. Supongamos además, el mejor caso para el comprador, que es una tarjeta de crédito y el primer vencimiento cae el mes que siguiente. Entonces, si tengo que comprar algo de 100$ el 1ro de enero, una posibilidad es pagar 85$ ese día. La otra posibilidad es pagar 12 cuotas de 8.33$, la primera el 1ro de febrero. Teniendo los 85$ y sabiendo que el banco paga un 24% anual por un plazo fijo a 30 días (desde luego eso lo sé el 1ro de enero, y no sé qué pasará durante el año, supongamos que se mantiene), calculo qué me conviene, haciendo la siguiente cuenta: el 1ro de enero pongo un plazo fijo con los 85$. Al 1ro de febrero me pagan 1.70$ de interés, tengo en total 86.70$, pero tengo que pagar la primer cuota de 8.33$, me quedan 78.37$. Hago un nuevo plazo fijo de 1 mes... y así... así con una planilla de cálculo, desde luego. Después de pagar las 12 cuotas me faltan 3.97$. Un tanto sorprendido me pregunto cuánto debería ser la tasa de interés para equiparar el 15% de descuento. Jugamos con la planilla de cálculo, tenemos: 31.1%. También me puedo preguntar al revés, a qué descuento equivale una tasa del 24%, 11.87%.
La primera vez que hice esta cuenta me sorprendí bastante. A simple vista parece que el 24% de interés es mucho y conviene elegir hacer el plazo fijo, en lugar de tener un descuento de 15%. El tema es que como tengo que ir pagando las cuotas me voy quedando sin capital para aprovechar el interés. Hemos hecho la cuenta con el mejor caso para el comprador, donde le regalamos un mes para que pague la primer cuota (y gane los intereses). En el caso del ABL, que hay que pagar el mismo día el 85% del total o la primer cuota (8.33% del total); si pago la cuota, la pago sin descuento y no le puedo ganar un interés. Ahí se ve claramente que no puedo usar todo el capital para ganar intereses.
Para finalizar les dejo una tabla con las equivalencias, a 12 cuotas (haciendo la cuenta de este modo que le regalamos un mes al comprador):
Cuando pensé este artículo jamás hubiera imaginado que tenga sentido dar tablas de 60% de interés anual. Ojalá dejemos "pronto" de hacer estas cuentas.
Supongamos que tenemos la plata para pagar en una sola cuota con el 15% de descuento. También tendremos seguramente la posibilidad de poner esa plata en un plazo fijo, con una tasa supongamos del 24%, y cada mes ir sacando para pagar las cuotas. ¿Qué conviene?
Quienes manejan estos problemas financieros tienen modos estándar de resolver estos problemas. Vayamos haciendolo con los dedos. Supongamos que el 1ro de enero tenemos 100$ y ponemos un plazo fijo a un mes (días más días menos) a una tasa de interés anual del 24%. A fin de mes tendremos nuestros 100$ iniciales más los intereses: 100$ x 0.24 / 12 = 100$ x 0.02 = 2$. Total, el 1ro de febrero: 102$. Ese mismo día hacemos un nuevo plazo fijo con los 102$. Repitiendo la cuenta tendremos el 1ro de marzo: 104.04$, y así... Observemos que como sumamos el interés al capital inicial (los 100$) cada mes los intereses son más. Así al 1ro de enero del año siguiente, luego de 12 plazos fijos de un mes, tendremos: 126.82$. Un modo, un poco más elegante de hacer la misma cuenta es: la tasa de interés del período (un mes) es 24% / 12 = 0.02. Entonces al cabo de un período el capital se multiplica por 1.02. Al cabo de 12 períodos se multiplica por 1.02 x 1.02 x .. x 1.02 (12 veces) = 1.02 ^ 12 = 1.2682. Se dice entonces que la tasa efectiva anual es de 26.82%. Observemos que es un poco más que el 24% anual inicial, y que el valor depende del período (de capitalización). Esta es la idea básica de lo que se denomina interés compuesto.
Para nuestro ejemplo concreto hay que hacer una cuenta parecida, pero un poco más compleja porque debemos ir retirando dinero para pagar las cuotas. Supongamos, como decíamos, que me ofrecen el 15% de descuento por pagar en efectivo en el momento, o sino, 12 cuotas iguales. Supongamos además, el mejor caso para el comprador, que es una tarjeta de crédito y el primer vencimiento cae el mes que siguiente. Entonces, si tengo que comprar algo de 100$ el 1ro de enero, una posibilidad es pagar 85$ ese día. La otra posibilidad es pagar 12 cuotas de 8.33$, la primera el 1ro de febrero. Teniendo los 85$ y sabiendo que el banco paga un 24% anual por un plazo fijo a 30 días (desde luego eso lo sé el 1ro de enero, y no sé qué pasará durante el año, supongamos que se mantiene), calculo qué me conviene, haciendo la siguiente cuenta: el 1ro de enero pongo un plazo fijo con los 85$. Al 1ro de febrero me pagan 1.70$ de interés, tengo en total 86.70$, pero tengo que pagar la primer cuota de 8.33$, me quedan 78.37$. Hago un nuevo plazo fijo de 1 mes... y así... así con una planilla de cálculo, desde luego. Después de pagar las 12 cuotas me faltan 3.97$. Un tanto sorprendido me pregunto cuánto debería ser la tasa de interés para equiparar el 15% de descuento. Jugamos con la planilla de cálculo, tenemos: 31.1%. También me puedo preguntar al revés, a qué descuento equivale una tasa del 24%, 11.87%.
La primera vez que hice esta cuenta me sorprendí bastante. A simple vista parece que el 24% de interés es mucho y conviene elegir hacer el plazo fijo, en lugar de tener un descuento de 15%. El tema es que como tengo que ir pagando las cuotas me voy quedando sin capital para aprovechar el interés. Hemos hecho la cuenta con el mejor caso para el comprador, donde le regalamos un mes para que pague la primer cuota (y gane los intereses). En el caso del ABL, que hay que pagar el mismo día el 85% del total o la primer cuota (8.33% del total); si pago la cuota, la pago sin descuento y no le puedo ganar un interés. Ahí se ve claramente que no puedo usar todo el capital para ganar intereses.
Para finalizar les dejo una tabla con las equivalencias, a 12 cuotas (haciendo la cuenta de este modo que le regalamos un mes al comprador):
| Descuento | Interés |
|---|---|
| 5% | 9.5% |
| 10% | 20% |
| 15% | 31% |
| 20% | 43% |
| 25% | 57% |
| 30% | 72% |
| Descuento | Interés |
|---|---|
| 2.7% | 5% |
| 5.2% | 10% |
| 7.7% | 15% |
| 10% | 20% |
| 12.3% | 25% |
| 14.5% | 30% |
| 16.7% | 35% |
| 18.7% | 40% |
| 20.7% | 45% |
| 22.5% | 50% |
| 24.4% | 55% |
| 26.1% | 60% |
Cuando pensé este artículo jamás hubiera imaginado que tenga sentido dar tablas de 60% de interés anual. Ojalá dejemos "pronto" de hacer estas cuentas.
viernes, 12 de agosto de 2016
Relatividad y GPS
Muchas veces hay una fascinación por ciertas tecnologías que no comparto. A riesgo de parecer un pobre refutador de leyendas inicio esta serie de artículos.
El primer tema es el GPS y los mapas en dispositivos electrónicos (computadoras), típicamente Google Maps.
Un "GPS" (Sistema de Posicionamiento Global) es un aparatito que tomando información enviada por satélites puede calcular la latitud y longitud sobre la superficie de la Tierra. Como veremos esto en sí es muy complicado, sutil y preciso. Es un grandísimo logro tecnológico y científico.
Una vez que usted sabe con precisión dónde se encuentra (latitud y longitud) puede volcar esa información sobre un mapa. De este modo generar distintas aplicaciones bastantes simples en general, como mostrar las calles y decir qué camino tomar.
La velocidad de la luz (en el vacio) es una constante de la naturaleza. Esto quiere decir que vale lo mismo en cualquier lugar (del Universo) que usted se encuentre. Más sorprendente que eso es que vale lo mismo independientemente de si usted se está moviendo o no. Usted mide la velocidad de la luz estando "quieto" y también la mide un amigo suyo que se mueve a gran velocidad respecto de usted, sorprendentemente medirán el mismo valor. (Ver experimento de Michelson-Morley). Así inicia la teoría de la relatividad.
Dado que es una constante de la naturaleza se utiliza para definir las unidades de distancia, el metro.
La velocidad de la luz es muy grande respecto a las velocidades comunes de la escala humana. Es de 299.792.458 m/seg (por definición de metro). Aproximemos en 300.000 Km/seg, o 300 Km / mseg (milisegundo). O 300 m / microsegundo, o 30 cm / nanosegundo (1 nanosegundo son 10^-9 segundos, una milmillonésima de segundo). Digamos al revés la luz recorre un metro en 3,33 nanosegundos.
El principio general del funcionamiento del GPS es simple. Hay una constelación de 24 satélites que cubren toda la superficie de la Tierra. Cada uno de ellos sabe dónde está y qué hora es, con mucha precisión. Entonces envia, como un faro, un mensaje con la posición en la que se encuentra y la hora. Aquí en la Tierra, cada aparatito gps recibe esa señal y la compara con su propia hora. De este modo sabe cuanto tardó la señal en llegar. Dividiendo por la velocidad de la luz, sabe a qué distancia estaba cada satélite.
Sabiendo la distancia a un satélite, podemos estar en un casquete esférico en torno al mismo. Sabiendo la distancia a un segundo satélite, podemos estar en la intersección de ambos casquetes esférios: una circunferencia. Sabiendo la distancia a un tercer satélite la intersección de los tres casquetes nos da dos puntos. Uno de los cuales caerá sobre la superficie terreste y el otro muy lejos. Ahí, en principio, ya sabemos dónde estamos.
Una observación adicional. Los satélites saben muy bien qué hora es, pero nuestro aparatito gps no. Puede estar fuera de hora. Entonces se requiere un cuarto satélite para ponerlo en hora. (Digamos que si tenemos una incognita más (la hora) en nuestro sistema de ecuaciones, necesitamos una ecuación más (un satélite)).
Conceptualmente eso es todo. Pero veamos qué precisión necesitamos. Supongamos que nos conformamos con saber nuestra posición sobre la superficie de la Tierra con un error de 100 metros. La luz recorre 100m en 333 nanosegundos, esa es la precisión que necesitamos. O sea 0,000000333 segundos.
Es por esto que los satélites llevan a bordo un reloj muy preciso, un reloj atómico. Además los 24 relojes tienen que estar perfectamente sincronizados. (Repasemos la idea, todos los satélites emiten el top de la hora al mismo tiempo. Como están a distintas distancias los "escucho" en distintos momentos. Analizando esas diferencias sé donde estoy).
El aparatito gps tiene un reloj bastante bueno (de cuarzo) para medir las diferencias entre las señales; pero no tan bueno como para no desfasarse de un día para otro. Por eso se requiere el cuarto satélite, para volver a ponerse en hora.
Los satélites del sistema GPS están a 20.200Km. (Los chinos están construyendo su propio sistema GPS (Beidou) con satélites geoestacionarios que están a unos 36.000Km de altura). La señal de cada uno tarda en llegar a la tierra unos 67,3 milisegundos, o sea 67.333.333 nanosegundos. Recordemos que necesitabamos una precisión de 333 nanosegundos. La señal no puede demorarse 333 nanosegundos en 67.333.333 de nanosegundos. No se puede demorar en un 0.0005%. (Se puede hacer la misma cuenta con la distancia 100m/20.200Km = 0.0005%). Si la señal se demora o adelanta en esta fracción el resultado final nos daría cualquier cosa.
¿Por qué puede llegar a demorarse? ¿La velocidad de la luz no es una constante?
Primer fuente de error. La velocidad de la luz es constante en el vacio. La señal del satélite en algún momento debe ingresar a la atmósfera. La inósfera, última capa de la atmósfera, se extiende hasta unos 600Km de altura. Dado que 20.200 es mucho mayor que 600 la señal viaja practicamente en el vacio, pero algún error puede introducir.
Además hay que tener en cuenta correcciones relacionadas con la teoría de la relatividad. La corrección se puede ver como una suma de efectos. Uno debido a que el satélite se está moviendo y otro debido al campo gravitatorio de la Tierra. Se explican con la teoría especial y general respectivamente.
Teoría especial de la relatividad. Dijimos al comienzo que la velocidad de la luz es una constante de la naturaleza. Que dos observadores medirían la misma velocidad de un rayo de luz que les llega independientemente de sus velocidades relativas. Esto implica que las velocidades no se suman como estamos acostumbrados. Cuando un objeto se mueve rápido las cosas no son como parecería intuitivo (cotidiano, a escala humana). Los efectos son tanto más drásticos cuanto más cerca de la velocidad de la luz estemos. El satélite se mueve a unos 4000 m/seg, comparado con la velocidad es nada, pero es tanta la precisión que necesitamos que hay que considerarlo.
Según la teoría especial de la relatividad el tiempo no transcurre del mismo modo para un observador "quieto" respecto a uno que se está moviendo. Por este efecto el reloj del satélite (que se mueve) avanza más lento que un reloj en la superficie de la Tierra. A esa velocidad un reloj (el del satélite) se "atrasa" 5 nanosegundos por minuto respecto a uno "quieto" (el de la Tierra).
Teoría general de la relatividad. Esta teoría mejora la anterior al considerar los campos gravitatorios (la fuerza de gravedad). Entre otras cosas nos dice que el tiempo no transcurre del mismo modo según sea la fuerza de gravedad. El tiempo transcurre más lento sobre la superficie de la Tierra (6.400 Km del centro) que a la altura de la órbita del satélite (20.200 Km).
Por este efecto un reloj a la altura del satélite "adelantaria" 31 nanosegundos por minuto respecto de uno en la superficie de la Tierra.
Observen que si no se considerasen estos efectos bastan 10 minutos para que los relojes se desincronicen generando un error de 100 metros en la posición que brinda el sistema.
Esto último es lo que me parece más extraordinario del sistema GPS. Cada vez que usted consulta su gps y le dice que está en tal esquina, está poniendo a prueba la teoría general de la relatividad. Además de está utilizando relojes atómicos a 20.200 Km de distancia. Los mapitas, son un detalle menor.
El primer tema es el GPS y los mapas en dispositivos electrónicos (computadoras), típicamente Google Maps.
Un "GPS" (Sistema de Posicionamiento Global) es un aparatito que tomando información enviada por satélites puede calcular la latitud y longitud sobre la superficie de la Tierra. Como veremos esto en sí es muy complicado, sutil y preciso. Es un grandísimo logro tecnológico y científico.
Una vez que usted sabe con precisión dónde se encuentra (latitud y longitud) puede volcar esa información sobre un mapa. De este modo generar distintas aplicaciones bastantes simples en general, como mostrar las calles y decir qué camino tomar.
La velocidad de la luz (en el vacio) es una constante de la naturaleza. Esto quiere decir que vale lo mismo en cualquier lugar (del Universo) que usted se encuentre. Más sorprendente que eso es que vale lo mismo independientemente de si usted se está moviendo o no. Usted mide la velocidad de la luz estando "quieto" y también la mide un amigo suyo que se mueve a gran velocidad respecto de usted, sorprendentemente medirán el mismo valor. (Ver experimento de Michelson-Morley). Así inicia la teoría de la relatividad.
Dado que es una constante de la naturaleza se utiliza para definir las unidades de distancia, el metro.
La velocidad de la luz es muy grande respecto a las velocidades comunes de la escala humana. Es de 299.792.458 m/seg (por definición de metro). Aproximemos en 300.000 Km/seg, o 300 Km / mseg (milisegundo). O 300 m / microsegundo, o 30 cm / nanosegundo (1 nanosegundo son 10^-9 segundos, una milmillonésima de segundo). Digamos al revés la luz recorre un metro en 3,33 nanosegundos.
El principio general del funcionamiento del GPS es simple. Hay una constelación de 24 satélites que cubren toda la superficie de la Tierra. Cada uno de ellos sabe dónde está y qué hora es, con mucha precisión. Entonces envia, como un faro, un mensaje con la posición en la que se encuentra y la hora. Aquí en la Tierra, cada aparatito gps recibe esa señal y la compara con su propia hora. De este modo sabe cuanto tardó la señal en llegar. Dividiendo por la velocidad de la luz, sabe a qué distancia estaba cada satélite.
Sabiendo la distancia a un satélite, podemos estar en un casquete esférico en torno al mismo. Sabiendo la distancia a un segundo satélite, podemos estar en la intersección de ambos casquetes esférios: una circunferencia. Sabiendo la distancia a un tercer satélite la intersección de los tres casquetes nos da dos puntos. Uno de los cuales caerá sobre la superficie terreste y el otro muy lejos. Ahí, en principio, ya sabemos dónde estamos.
Una observación adicional. Los satélites saben muy bien qué hora es, pero nuestro aparatito gps no. Puede estar fuera de hora. Entonces se requiere un cuarto satélite para ponerlo en hora. (Digamos que si tenemos una incognita más (la hora) en nuestro sistema de ecuaciones, necesitamos una ecuación más (un satélite)).
Conceptualmente eso es todo. Pero veamos qué precisión necesitamos. Supongamos que nos conformamos con saber nuestra posición sobre la superficie de la Tierra con un error de 100 metros. La luz recorre 100m en 333 nanosegundos, esa es la precisión que necesitamos. O sea 0,000000333 segundos.
Es por esto que los satélites llevan a bordo un reloj muy preciso, un reloj atómico. Además los 24 relojes tienen que estar perfectamente sincronizados. (Repasemos la idea, todos los satélites emiten el top de la hora al mismo tiempo. Como están a distintas distancias los "escucho" en distintos momentos. Analizando esas diferencias sé donde estoy).
El aparatito gps tiene un reloj bastante bueno (de cuarzo) para medir las diferencias entre las señales; pero no tan bueno como para no desfasarse de un día para otro. Por eso se requiere el cuarto satélite, para volver a ponerse en hora.
Los satélites del sistema GPS están a 20.200Km. (Los chinos están construyendo su propio sistema GPS (Beidou) con satélites geoestacionarios que están a unos 36.000Km de altura). La señal de cada uno tarda en llegar a la tierra unos 67,3 milisegundos, o sea 67.333.333 nanosegundos. Recordemos que necesitabamos una precisión de 333 nanosegundos. La señal no puede demorarse 333 nanosegundos en 67.333.333 de nanosegundos. No se puede demorar en un 0.0005%. (Se puede hacer la misma cuenta con la distancia 100m/20.200Km = 0.0005%). Si la señal se demora o adelanta en esta fracción el resultado final nos daría cualquier cosa.
¿Por qué puede llegar a demorarse? ¿La velocidad de la luz no es una constante?
Primer fuente de error. La velocidad de la luz es constante en el vacio. La señal del satélite en algún momento debe ingresar a la atmósfera. La inósfera, última capa de la atmósfera, se extiende hasta unos 600Km de altura. Dado que 20.200 es mucho mayor que 600 la señal viaja practicamente en el vacio, pero algún error puede introducir.
Además hay que tener en cuenta correcciones relacionadas con la teoría de la relatividad. La corrección se puede ver como una suma de efectos. Uno debido a que el satélite se está moviendo y otro debido al campo gravitatorio de la Tierra. Se explican con la teoría especial y general respectivamente.
Teoría especial de la relatividad. Dijimos al comienzo que la velocidad de la luz es una constante de la naturaleza. Que dos observadores medirían la misma velocidad de un rayo de luz que les llega independientemente de sus velocidades relativas. Esto implica que las velocidades no se suman como estamos acostumbrados. Cuando un objeto se mueve rápido las cosas no son como parecería intuitivo (cotidiano, a escala humana). Los efectos son tanto más drásticos cuanto más cerca de la velocidad de la luz estemos. El satélite se mueve a unos 4000 m/seg, comparado con la velocidad es nada, pero es tanta la precisión que necesitamos que hay que considerarlo.
Según la teoría especial de la relatividad el tiempo no transcurre del mismo modo para un observador "quieto" respecto a uno que se está moviendo. Por este efecto el reloj del satélite (que se mueve) avanza más lento que un reloj en la superficie de la Tierra. A esa velocidad un reloj (el del satélite) se "atrasa" 5 nanosegundos por minuto respecto a uno "quieto" (el de la Tierra).
Teoría general de la relatividad. Esta teoría mejora la anterior al considerar los campos gravitatorios (la fuerza de gravedad). Entre otras cosas nos dice que el tiempo no transcurre del mismo modo según sea la fuerza de gravedad. El tiempo transcurre más lento sobre la superficie de la Tierra (6.400 Km del centro) que a la altura de la órbita del satélite (20.200 Km).
Por este efecto un reloj a la altura del satélite "adelantaria" 31 nanosegundos por minuto respecto de uno en la superficie de la Tierra.
Observen que si no se considerasen estos efectos bastan 10 minutos para que los relojes se desincronicen generando un error de 100 metros en la posición que brinda el sistema.
Esto último es lo que me parece más extraordinario del sistema GPS. Cada vez que usted consulta su gps y le dice que está en tal esquina, está poniendo a prueba la teoría general de la relatividad. Además de está utilizando relojes atómicos a 20.200 Km de distancia. Los mapitas, son un detalle menor.
martes, 30 de diciembre de 2014
¡Hagalo usted mismo! - Si el Sol fuera una pelota de fútbol.
Esto que voy a hacer ahora se ha hecho miles de veces. Por eso más que hacerlo y ver que dá, quiero dejar muy en claro el procedimiento así pueden hacerlo ustedes como más les guste.
Espero que la mayoría de ustedes, al menos los curiosos, se hayan tropezado alguna vez con una tabla como la siguiente:
La habrán visto en alguna enciclopedia, en algún libro de física o astronomía, en algún manual. Son las distancias y tamaños del Sistema Solar. Distancias, propiamente astronómicas. ¿Cómo hacernos una idea de que el Sol dista unos 149.600.000 Km de la Tierra? ¿Cómo meterlo en la cabeza de algún modo sin que nos salgan ceros por las orejas?
Hagamos lo siguiente: achiquemos todo el Sistema Solar hasta que tenga un tamaño que estamos acostumbrados a manejar. Hagamos mentalmente una maqueta del Sistema Solar. Todo igual, con las mismas proporciones, pero más chiquito, muy chiquito. Busquemos una escala que estemos acostumbrados a visualizar: ¿Cómo sería si el Sol fuera una pelota de fútbol? Veamos.
Nuestra tabla dice: Diámetro Ecuatorial del Sol: 1.391.016 Km. Voy comentando algunas cosas al margen, para muchos seguramente obvias, pero sino el resto no entiende nada. ¿Qué es el diámetro Ecuatorial del Sol? El Sol tiene una forma más o menos esférica y gira sobre sí mismo como la Tierra o como un trompo. Como sabrán un objeto no del todo rígido que gira tiende a ser más gordo en el "ecuador". Por "ecuador" del Sol se entiende el plano perpendicular al eje de rotación. Entonces, otra vez igual que la Tierra, el Sol es un poco más gordo en el ecuador. El diametro ecuatorial, entonces, es el diámetro de ese círculo perpendicular al eje de rotación.
Ahora necesitamos saber cuánto es el diámetro de una pelota de fútbol. Hay muchos tamaños de pelotas. Para que todos imaginemos lo mismo, estamos hablando de una pelota número 5, la de fútbol 11. Hay muchos modos de conocer el tamaño de una pelota de fútbol. Voy a mencionar tres distintos. ¿Cómo harían ustedes?
Al no tener un lado plano se complica medir el diametro de una pelota, o cualquier cosa más o menos redonda.
Primer método: usar un calibre. La mayoría de ustedes no tendrán un calibre, y menos uno tan grande como para que entre una pelota. Entonces vamos a fabricar uno: ponga la pelota en un ángulo de 90 grados, por ejemplo en el piso contra la pared (cuidado con el zocalo). Luego busque un objeto rígido y plano, un libro por ejemplo. Pongalo perpendicular al piso, paralelo a la pared y tocando la pelota. (Ver siguiente imagen). Ahora saque la pelota, pida ayuda a un amigo, sin mover el libro, y mida la distancia entre el libro y la pared. Esa distancia es igual al diámetro de la pelota.
Segundo método: del costurero de mamá, pidiendo permiso, tomamos el centímetro. Damos una vuelta con el mismo a la pelota y medimos la mayor circunferencia posible. Tomamos ese valor lo dividimos por 3.14159... y el resultado es el diámetro de la pelota. ¿¡Cómo!?, se estará preguntando más de uno. Como sabrán la longitud de una circunferencia es 3.14159... (pi) veces su diámetro. Entonces, el diámetro de la pelota de fútbol es igual a la longitud de su circunferencia (medida con el centímetro) divido 3.14159... (pi). Ya sé, que en el siglo XXI es difícil tener una madre con centímetro. De ser este el caso pueden tomar la cinta métrica de papá o un piolín. Si usan el piolín tengan cuidado de que el mismo no se estire. Luego lo ponen en la mesa y lo miden con una regla.
Tercer método: Este método es el que más me gusta. Porque ni siquiera hay que tocar una pelota. ¿Cómo saber el diámetro de una pelota de fútbol sin tocar una pelota? Muy fácil. Nos dirigimos hacia una biblioteca (también podríamos navegar la internet) y buscamos un reglamento de fútbol. Seguramente el reglamento de fútbol debe decir que se juega con una pelota y como es la pelota. Entre sus cualidades debe especificar el diámetro.
Lo que vamos a hacer es achicar todo el Sistema Solar proporcionalmente. Reduciremos todas las distancias en la misma proporción. En particular nos interesan dos: el radio del planeta y el radio de la órbita. En rigor, (no mucho rigor, Kepler se dió cuenta en 1609) no hay un radio de la órbita. La misma es elíptica, o sea la distancia del Sol al planeta varía a lo largo de la órbita. Por eso las tablas suelen indicar la distancia más próxima y más lejana al Sol. También se suele indicar la excentricidad, que es una medida de cuanto difiere de un círculo. Los invito a analizar una de estas tablas y ver que en general las órbitas son casi circulares. Por esto, a nuestros efectos (que es dar una idea general de tamaños) tomaremos "el radio de la órbita".
Decíamos que tenemos que reducir todas las distancias en la misma proporción. La proporción sería: diametro de una pelota de fútbol / diametro del Sol. Esto nos da un número, llamémoslo m. Tenemos que multiplicar todas las distancias por m. Sería como hacer una maqueta de escala 1:(1/m), o sea 1: (diametro del Sol / diametro de una pelota de fútbol).
Vamos a los números para aclarar.
Para saber el diámetro de la pelota de fútbol utilicé el tercer método. Encuentro en internet un reglamento de fútbol. La regla 2, "El balón", dice: "tendrá una circunferencia no superior a 70 cm y no inferior a 68 cm". Nos deja en la situación del segundo método. Entre 70 y 68, tomemos 69. Dividido 3.14159 (pi), nos da 21.96 cm. Tomemos 22 cm. Una pelota de fútbol tiene 22cm de diámetro.
Entonces el factor de proporcionalidad será: m = diametro de una pelota de fútbol / diametro del Sol = 22cm / 1.391.016 Km. Para hacer esta cuenta pasemos todo a metros:
m = 0.22 / 1.391.016.000 = 1.5815777 10-10. Desde luego un número muy chiquito. Para achicar las cosas multiplicamos por un número menor que 1. La escala de nuestra maqueta sería: 1:6.322.800.000. Lo que vale 1 en nuestra maqueta vale 6.322.800.000 en la realidad.
Veamos por ejemplo la Tierra. Tiene 12.742 Km de diámetro. Hacemos 12.742 Km x 1.5815777 10-10 = 2 milimetros. Y el radio de la órbita: 149.600.00 Km x 1.5815777 10-10 = 23.66 metros.
Exactamente lo mismo es hacer la regla de 3 en cada caso. Por ejemplo, el radio de la Tierra. Yo suelo pensar así. ¿Qué quiero calcular? El radio de la Tierra en la maqueta. Entonces arriba va el radio de la Tierra real: 12.742 Km. Eso hay que dividirlo por algo que "cancele las unidades", en este caso el radio del Sol real 1.390.000 Km. Por último lo multiplico por algo que tenga las unidades que quiero calcular, unidades de la maqueta, o sea el radio de la pelota de fútbol. (En este caso puede ser medio confuso porque son todas medidas de longitud, aunque unas son Km y otras cm). Nos queda: (12.742 Km / 1.390.000 Km) * 22 cm = 0.20 cm = 2 mm.
Si el Sol fuera una pelóta de fútbol la Tierra sería una esferita de 2mm a más de 23 metros de distancia. O sea, es muy chiquita la Tierra comparada con el Sol y está muy lejos.
Veamos como queda nuestra maqueta una vez que hacemos todas las cuentas... les recomiendo utilizar una planilla de cálculo [Ver linkear un google-docs].
El Sol es una pelóta de fútbol. A 9 metros de distancia encontramos a Mercurio que mide menos de 1mm (0.8mm). Venus, la Tierra y Marte miden unos 2mm (menos que un grano de pimienta). Venus se encuentra a 17 metros, nuestra Tierra a 23 metros y Marte a 36 metros.
La Luna sería, que es uno de los satélites más grandes, sería una cabeza de alfiler de medio milímetro orbitando a 6 cm de la Tierra.
Los asteriodes estarían a unos 65 metros. Ceres, el más grande sería un grano de arena de menos de un cuarto de milímetro.
Júpiter, el gigante, mide poco más de 2cm (2.21cm) (Diez veces más grande que la tierra). Sería una esferita del tamaño de una moneda de un peso, a 123 metros del Sol. La cancha de fútbol más grande puede medir 120 metros. El Sol, pelota de fútbol lo ponemos en la línea de un arco, Júpiter es una moneda de un peso tirada por ahí en la línea del otro arco. (Y la Tierra una grano de pimienta un poco más lejos de la medialuna del primer arco).
Saturno, bastante grande también no llega a los 2cm (1.84cm) se encuentra a 225 metros. Urano y Neptuno, otro par de hermanos, miden menos de 1cm (0.8cm). Urano a 454 metros y Neptuno a 711 metros. Plutón está a casi un kilómetro de distancia: 934 metros y no llega a medir medio milímetro. Más lejos, llegan (y vienen) los cometas, cinturón de Kuiper, nube de Oort, su ruta.
Como vemos el sistema solar tiene una escala que no estamos acostumbrados a menajar. Es muy grande, pero no solamente eso. Los planetas son muy chiquitos comparados con las distancias que tienen que recorrer para dar una vuelta en torno al Sol.
Tarea para el hogar.
Les sugiero algunas cuentas similares que me parecen interesantes:
- Completar esta maqueta con los satélites. Los más interesantes son los de Júpiter y Saturno. Los anillos de Saturno, cometas, estrellas más cercanas, etc.
- Si un protón fuera un grano de pimienta (o si midiese 1mm de diámetro). ¿Cuánto mide un núcleo atómico? ¿Cuánto uno de oxigeno, cuánto uno de hierro? ¿Dónde están los electrones? Hay varias capas. ¿Cuánto mide una molécula de agua? ¿Una de azucar? ¿Una proteina complicada? ¿El ADN? ¿Una célula?
(Los protones no tienen un tamaño bien definido, pero alguna aproximación encontrarán).
- Si Mar del plata estuviese a la vuelta de casa. (Digo yo que vivo en Buenos Aires. Si una ciudad próxima pero no tanto, que se visite seguido, estuviera a 100m). ¿Dónde estaría Córdoba? ¿Salta? ¿Ushuaia? ¿Rio de Janeiro? ¿México? ¿Madrid? ¿Tokio? ¿El polo Sur? ¿El plo Norte? ¿La Luna? ¿Cuánto mediría el puente Zárate Brazo largo? ¿La represa de Yacyretá?
- Si el obelisco midiese 1cm de alto. ¿Cuánto medirían las torres Petronas? ¿Cuánto mide el Aconcagua? ¿El Lanín? ¿A qué altura vuelan los aviones? ¿A qué altura termina la atmósfera? ¿A qué altura llegó el Sputnik? ¿A qué altura está el Arsat-1? ¿A qué distancia orbita la Luna?
Links:
http://es.fifa.com/mm/document/footballdevelopment/refereeing/81/42/36/log2013es_spanish.pdf
https://solarsystem.nasa.gov/planets/index.cfm
Espero que la mayoría de ustedes, al menos los curiosos, se hayan tropezado alguna vez con una tabla como la siguiente:
| Orbita | Rotación | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre | Diametro ecuatorial |
Masa | Periodo | Radio | Excentricidad | Inclinación | Periodo | Inclinación |
| (Km) | (Kg) | (dias) | (Km) | (grados) | (horas) | (grados) | ||
| Sol | 1,391,016 | 1.9890E+30 | 609.12 | 7.25 | ||||
| Mercurio | 4,879 | 3.3010E+23 | 175.97 | 57,909,227 | 0.205636 | 7 | 1407.5 | 0 |
| Venus | 12,104 | 4.8673E+24 | 224.70 | 108,209,475 | 0.006777 | 3.39 | -5832.4 | 177.3 |
| Tierra | 12,742 | 5.9722E+24 | 365.26 | 149,598,262 | 0.016711 | 0.00005 | 23.934 | 23.4393 |
| Luna | 3,475 | 7.3477E+22 | 27.32 | 384,400 | 0.055400 | 5.16 | 655.73 | 6.68 |
| Marte | 13,574 | 6.4169E+23 | 686.98 | 227,943,824 | 0.093394 | 1.85 | 24.623 | 25.2 |
| Ceres | 952 | 9.4700E+20 | 1,680.20 | 413,690,250 | 0.079138 | 10.59 | 9.07417 | |
| Júpiter | 139,822 | 1.8981E+27 | 4,332.82 | 778,340,821 | 0.048386 | 1.304 | 9.92496 | 3.1 |
| Saturno | 116,464 | 5.6832E+26 | 10,755.70 | 1,426,666,422 | 0.053862 | 2.49 | 10.656 | 26.7 |
| Urano | 50,724 | 8.6810E+25 | 30,687.15 | 2,870,658,186 | 0.047257 | 0.77 | -17.23992 | 97.8 |
| Neptuno | 49,244 | 1.0241E+26 | 60,190.03 | 4,498,396,441 | 0.008590 | 1.77 | 16.11 | 28.3 |
| Plutón | 2,302 | 1.3090E+22 | 90,553.02 | 5,906,440,628 | 0.248827 | 17.14 | -153.2928 | 122.5 |
La habrán visto en alguna enciclopedia, en algún libro de física o astronomía, en algún manual. Son las distancias y tamaños del Sistema Solar. Distancias, propiamente astronómicas. ¿Cómo hacernos una idea de que el Sol dista unos 149.600.000 Km de la Tierra? ¿Cómo meterlo en la cabeza de algún modo sin que nos salgan ceros por las orejas?
Hagamos lo siguiente: achiquemos todo el Sistema Solar hasta que tenga un tamaño que estamos acostumbrados a manejar. Hagamos mentalmente una maqueta del Sistema Solar. Todo igual, con las mismas proporciones, pero más chiquito, muy chiquito. Busquemos una escala que estemos acostumbrados a visualizar: ¿Cómo sería si el Sol fuera una pelota de fútbol? Veamos.
Nuestra tabla dice: Diámetro Ecuatorial del Sol: 1.391.016 Km. Voy comentando algunas cosas al margen, para muchos seguramente obvias, pero sino el resto no entiende nada. ¿Qué es el diámetro Ecuatorial del Sol? El Sol tiene una forma más o menos esférica y gira sobre sí mismo como la Tierra o como un trompo. Como sabrán un objeto no del todo rígido que gira tiende a ser más gordo en el "ecuador". Por "ecuador" del Sol se entiende el plano perpendicular al eje de rotación. Entonces, otra vez igual que la Tierra, el Sol es un poco más gordo en el ecuador. El diametro ecuatorial, entonces, es el diámetro de ese círculo perpendicular al eje de rotación.
Ahora necesitamos saber cuánto es el diámetro de una pelota de fútbol. Hay muchos tamaños de pelotas. Para que todos imaginemos lo mismo, estamos hablando de una pelota número 5, la de fútbol 11. Hay muchos modos de conocer el tamaño de una pelota de fútbol. Voy a mencionar tres distintos. ¿Cómo harían ustedes?
Al no tener un lado plano se complica medir el diametro de una pelota, o cualquier cosa más o menos redonda.
Primer método: usar un calibre. La mayoría de ustedes no tendrán un calibre, y menos uno tan grande como para que entre una pelota. Entonces vamos a fabricar uno: ponga la pelota en un ángulo de 90 grados, por ejemplo en el piso contra la pared (cuidado con el zocalo). Luego busque un objeto rígido y plano, un libro por ejemplo. Pongalo perpendicular al piso, paralelo a la pared y tocando la pelota. (Ver siguiente imagen). Ahora saque la pelota, pida ayuda a un amigo, sin mover el libro, y mida la distancia entre el libro y la pared. Esa distancia es igual al diámetro de la pelota.
Segundo método: del costurero de mamá, pidiendo permiso, tomamos el centímetro. Damos una vuelta con el mismo a la pelota y medimos la mayor circunferencia posible. Tomamos ese valor lo dividimos por 3.14159... y el resultado es el diámetro de la pelota. ¿¡Cómo!?, se estará preguntando más de uno. Como sabrán la longitud de una circunferencia es 3.14159... (pi) veces su diámetro. Entonces, el diámetro de la pelota de fútbol es igual a la longitud de su circunferencia (medida con el centímetro) divido 3.14159... (pi). Ya sé, que en el siglo XXI es difícil tener una madre con centímetro. De ser este el caso pueden tomar la cinta métrica de papá o un piolín. Si usan el piolín tengan cuidado de que el mismo no se estire. Luego lo ponen en la mesa y lo miden con una regla.
Tercer método: Este método es el que más me gusta. Porque ni siquiera hay que tocar una pelota. ¿Cómo saber el diámetro de una pelota de fútbol sin tocar una pelota? Muy fácil. Nos dirigimos hacia una biblioteca (también podríamos navegar la internet) y buscamos un reglamento de fútbol. Seguramente el reglamento de fútbol debe decir que se juega con una pelota y como es la pelota. Entre sus cualidades debe especificar el diámetro.
Lo que vamos a hacer es achicar todo el Sistema Solar proporcionalmente. Reduciremos todas las distancias en la misma proporción. En particular nos interesan dos: el radio del planeta y el radio de la órbita. En rigor, (no mucho rigor, Kepler se dió cuenta en 1609) no hay un radio de la órbita. La misma es elíptica, o sea la distancia del Sol al planeta varía a lo largo de la órbita. Por eso las tablas suelen indicar la distancia más próxima y más lejana al Sol. También se suele indicar la excentricidad, que es una medida de cuanto difiere de un círculo. Los invito a analizar una de estas tablas y ver que en general las órbitas son casi circulares. Por esto, a nuestros efectos (que es dar una idea general de tamaños) tomaremos "el radio de la órbita".
Decíamos que tenemos que reducir todas las distancias en la misma proporción. La proporción sería: diametro de una pelota de fútbol / diametro del Sol. Esto nos da un número, llamémoslo m. Tenemos que multiplicar todas las distancias por m. Sería como hacer una maqueta de escala 1:(1/m), o sea 1: (diametro del Sol / diametro de una pelota de fútbol).
Vamos a los números para aclarar.
Para saber el diámetro de la pelota de fútbol utilicé el tercer método. Encuentro en internet un reglamento de fútbol. La regla 2, "El balón", dice: "tendrá una circunferencia no superior a 70 cm y no inferior a 68 cm". Nos deja en la situación del segundo método. Entre 70 y 68, tomemos 69. Dividido 3.14159 (pi), nos da 21.96 cm. Tomemos 22 cm. Una pelota de fútbol tiene 22cm de diámetro.
Entonces el factor de proporcionalidad será: m = diametro de una pelota de fútbol / diametro del Sol = 22cm / 1.391.016 Km. Para hacer esta cuenta pasemos todo a metros:
m = 0.22 / 1.391.016.000 = 1.5815777 10-10. Desde luego un número muy chiquito. Para achicar las cosas multiplicamos por un número menor que 1. La escala de nuestra maqueta sería: 1:6.322.800.000. Lo que vale 1 en nuestra maqueta vale 6.322.800.000 en la realidad.
Veamos por ejemplo la Tierra. Tiene 12.742 Km de diámetro. Hacemos 12.742 Km x 1.5815777 10-10 = 2 milimetros. Y el radio de la órbita: 149.600.00 Km x 1.5815777 10-10 = 23.66 metros.
Exactamente lo mismo es hacer la regla de 3 en cada caso. Por ejemplo, el radio de la Tierra. Yo suelo pensar así. ¿Qué quiero calcular? El radio de la Tierra en la maqueta. Entonces arriba va el radio de la Tierra real: 12.742 Km. Eso hay que dividirlo por algo que "cancele las unidades", en este caso el radio del Sol real 1.390.000 Km. Por último lo multiplico por algo que tenga las unidades que quiero calcular, unidades de la maqueta, o sea el radio de la pelota de fútbol. (En este caso puede ser medio confuso porque son todas medidas de longitud, aunque unas son Km y otras cm). Nos queda: (12.742 Km / 1.390.000 Km) * 22 cm = 0.20 cm = 2 mm.
Si el Sol fuera una pelóta de fútbol la Tierra sería una esferita de 2mm a más de 23 metros de distancia. O sea, es muy chiquita la Tierra comparada con el Sol y está muy lejos.
Veamos como queda nuestra maqueta una vez que hacemos todas las cuentas... les recomiendo utilizar una planilla de cálculo [Ver linkear un google-docs].
El Sol es una pelóta de fútbol. A 9 metros de distancia encontramos a Mercurio que mide menos de 1mm (0.8mm). Venus, la Tierra y Marte miden unos 2mm (menos que un grano de pimienta). Venus se encuentra a 17 metros, nuestra Tierra a 23 metros y Marte a 36 metros.
La Luna sería, que es uno de los satélites más grandes, sería una cabeza de alfiler de medio milímetro orbitando a 6 cm de la Tierra.
Los asteriodes estarían a unos 65 metros. Ceres, el más grande sería un grano de arena de menos de un cuarto de milímetro.
Júpiter, el gigante, mide poco más de 2cm (2.21cm) (Diez veces más grande que la tierra). Sería una esferita del tamaño de una moneda de un peso, a 123 metros del Sol. La cancha de fútbol más grande puede medir 120 metros. El Sol, pelota de fútbol lo ponemos en la línea de un arco, Júpiter es una moneda de un peso tirada por ahí en la línea del otro arco. (Y la Tierra una grano de pimienta un poco más lejos de la medialuna del primer arco).
Saturno, bastante grande también no llega a los 2cm (1.84cm) se encuentra a 225 metros. Urano y Neptuno, otro par de hermanos, miden menos de 1cm (0.8cm). Urano a 454 metros y Neptuno a 711 metros. Plutón está a casi un kilómetro de distancia: 934 metros y no llega a medir medio milímetro. Más lejos, llegan (y vienen) los cometas, cinturón de Kuiper, nube de Oort, su ruta.
Como vemos el sistema solar tiene una escala que no estamos acostumbrados a menajar. Es muy grande, pero no solamente eso. Los planetas son muy chiquitos comparados con las distancias que tienen que recorrer para dar una vuelta en torno al Sol.
Tarea para el hogar.
Les sugiero algunas cuentas similares que me parecen interesantes:
- Completar esta maqueta con los satélites. Los más interesantes son los de Júpiter y Saturno. Los anillos de Saturno, cometas, estrellas más cercanas, etc.
- Si un protón fuera un grano de pimienta (o si midiese 1mm de diámetro). ¿Cuánto mide un núcleo atómico? ¿Cuánto uno de oxigeno, cuánto uno de hierro? ¿Dónde están los electrones? Hay varias capas. ¿Cuánto mide una molécula de agua? ¿Una de azucar? ¿Una proteina complicada? ¿El ADN? ¿Una célula?
(Los protones no tienen un tamaño bien definido, pero alguna aproximación encontrarán).
- Si Mar del plata estuviese a la vuelta de casa. (Digo yo que vivo en Buenos Aires. Si una ciudad próxima pero no tanto, que se visite seguido, estuviera a 100m). ¿Dónde estaría Córdoba? ¿Salta? ¿Ushuaia? ¿Rio de Janeiro? ¿México? ¿Madrid? ¿Tokio? ¿El polo Sur? ¿El plo Norte? ¿La Luna? ¿Cuánto mediría el puente Zárate Brazo largo? ¿La represa de Yacyretá?
- Si el obelisco midiese 1cm de alto. ¿Cuánto medirían las torres Petronas? ¿Cuánto mide el Aconcagua? ¿El Lanín? ¿A qué altura vuelan los aviones? ¿A qué altura termina la atmósfera? ¿A qué altura llegó el Sputnik? ¿A qué altura está el Arsat-1? ¿A qué distancia orbita la Luna?
Links:
http://es.fifa.com/mm/document/footballdevelopment/refereeing/81/42/36/log2013es_spanish.pdf
https://solarsystem.nasa.gov/planets/index.cfm
lunes, 6 de octubre de 2014
Regla para los múltiplos de 3
A mi modesto entender la idea que se tiene de la Matemática en nuestros colegios primarios es bastante infantil. Matemática no es hacer cuentas. La matemática se parece más a resolver un rompecabezas que a hacer una cuenta.
Hacer cuentas es una pavada. 1 + 1 es siempre 2. ¿Qué gracia tiene? Es aburrido. Es como hacer una torta siguiendo una receta y no poderla cambiar ni un poquito. La tercer vez que hice la misma torta del mismo modo, me aburrí. La matemática es otra cosa, algo mucho más divertido.
Entonces, ¿qué es la matemática? Es una ciencia exácta. Que sea una ciencia quiere decir que su finalidad es estudiar. Estudia las propiedades de los números, los conjuntos, y varios otros "objetos matemáticos". Y es una ciencia exácta. Eso quiere decir que no se hacen experimentos como en las ciencias naturales, la física, la química y la biología por ejemplo. O sea que NO se basa en la observación de la naturaleza. La matemática trata de descubrir, como un detective, propiedades de los elementos y conjuntos que estudia.
Veamos un ejemplo. ¿Cómo hacen para saber si un número es múltiplo de 3? La primer posibilidad es dividirlo por 3 y si el resto es 0, el número es múltiplo. Por ejemplo: 15, 15 / 3 = 5 y el resto es 0. entonces es múltiplo de 3. O 22, 22 / 3 = 7 y el resto es 1, entonces no es múltiplo de 3. Hasta acá viene fácil. Pero, ¿cómo hacen para saber si 128374124783943 es múltiplo de 3? Podrían dividirlo... pero es mucho trabajo... Hay una forma más facil de saber. Hay una regla, una receta, dice así: se suman las cifras del número si el resultado es múltiplo de 3 el número original es múltiplo de 3. Veamos un ejemplo, fácil:
Numero original: 15
Suma de las cifras: 1 + 5 = 6, ES múltiplo de 3 (3 x 2), entonces el número original (15) ES múltiplo de 3.
Otro ejemplo:
Numero original: 22
Suma de las cifras: 2 + 2 = 4, NO ES múltiplo de 3 (3 x 1 + 1), entonces el número original (22) NO ES múltiplo de 3.
Y ahora probemos con el número grande:
Número original: 128374124783943
Suma de cifras: 1 + 2 + 8 + 3 + 7 + 4 + 1 + 2 + 4 + 7 + 8 + 3 + 9 + 4 + 3 = 65, NO ES múltiplo de 3 (3 x 22 + 1) [pueden volver a aplicar la regla]
Fenomeno, una pavada. Seguramente la mayoría de ustedes ya sabía este truco, esta regla. Pero, ahora viene lo divertido: ¿por qué? ¿Por qué funciona la regla? ¿Es mágia? Noooooooooooo. ¡Es matemática! ¿Por qué un número es múltiplo de 3 sí y sólo sí la suma de sus cifras es múltiplo de 3? Ahora vamos a ver por qué. Digamos que es una propiedad de los números naturales, de tooooooodos los números naturales. Es algo que se puede demostrar. Por medio de un cuidadoso razonamiento vamos a demostrar (ver, dejar en claro) que toooodos los números naturales cumplen con esa propiedad.
Vamos a demostrar que toooodos los números naturales cuya suma de cifras es múltiplo de 3, el número original también lo es.
[también se puede demostrar la inversa, o sea al reves, que para todo múltiplo de 3 la súma de sus cifras es también multiplo de 3]
Bueno, ¿están preparados? Esto es matemática de verdad. Para demostar los matemáticos ordenan sus razonamientos en algo que llaman teorema. El teorema tiene una parte que se llama hipótesis y es lo que quiero demostrar. Entonces, nuestra hipótesis es, que todos los números cuya suma de cifras son múltiplo de 3, el número también lo es.
Otra parte del teorema es la tesis. Esta formada por todo lo que yo ya sé [O sea, ya lo demostré antes]. Nuestra tesis será: saber descomponer un número en base 10 y saber qué es un múltiplo. Si ustedes no saben algo de esto no podemos seguir porque no van a entender ni medio.
¿Cómo vamos a hacer esto? Una posibilidad sería ver si se cumple para 1, después para 2, después para 3... y así para toooodos los números, pero no terminaríamos más.
Los matemáticos tienen un lenguaje que los ayuda a hablar y pensar de tooodos los números al mismo tiempo. Al principio puede resultar difícil, pero eso es lo divertido, lo hermoso. ¿Cómo pensar en tooodos los números al mismo tiempo sin que explote la cabeza?
La demostración es la parte del teorema en que mediante razonamientos llegamos desde la tesis (lo que sabemos) a la hipótesis (lo que todavía no sabemos del todo). Veamos.
Demostración: Para hacerlo fácil vamos a suponer que tenemos un número de 4 cifras, pero como verán el mismo razonamiento se puede aplicar a cualquiér número de cifras. En ese lenguaje, que usan los matemáticos, para pensar en todos los números al mismo tiempo sin que les explote la cabeza, suelen representar un número con una letra. Nosotros vamos a hacer lo mismo porque esto es matemática de verdad. Nuestro número de 4 cifras lo vamos a representar así: abcd. abcd representa cualquier número de 4 cifras, representa 2005, 1810, 1492, cualquiera. Si abcd = 1810, entonces a = 1, b = 8, c = 1, d = 0.
Nosotros queríamos demostrar que si la suma de cifras de un número es multiplo de 3 entonces el número también lo es. O sea en nuestro lenguaje eso se dice así:
Sí a + b + c + d es múltiplo de 3 entonces abcd es múltiplo de 3.
Los múltiplos de 3 son los números de la forma 3 x n, donde n es cualquier número natural. Nuestra hipótesis dicha de este modo matemático sería:
Sí a + b + c + d = 3 x m, entonces abcd = 3 x n, donde m y n son números naturales.
Hasta ahora, no hicimos nada, es solo un lenguaje, una manera de decir las cosas... Muchas veces en la ciencia la mitad de la resolución de un problema pasa por expresarlo claramente.
Ahora viene el oficio del matemático, la viveza para de a + b + c + d = 3 x m llegar a abcd = 3 x n. Como si estuvieramos en un laberinto hay que buscar el camino.... me quedé pensando... de a + b + c + d tenemos que llegar a abcd.... mmm... abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d... entonces hagamos esto:
teníamos que:
a + b + c + d = 3 x m
sumemos a x 999 + b x 99 + c x 9 a cada lado del igual, nos queda:
a + b + c + d + a x 999 + b x 99 + c x 9 = 3 x m + a x 999 + b x 99 + c x 9
agrupando:
a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = 3 x m + a x 999 + b x 99 + c x 9
a la izquierda del igual nos quedó abcd (era lo que quería), entonces:
abcd = 3 x m + a x 999 + b x 99 + c x 9
veamos que 3 x m, es múltiplo de 3 (por 3); a x 999 es múltiplo de 3 (porque 999 es múltiplo de 9 y 9 es múlpliplo de 3), b x 99 es múltiplo de 3 (porque 99 es múltiplo de 9 y 9 es múltiplo de 3) y que c x 9 es múltiplo de 3. Si sumamos 4 múltiplos de 3 el resultado es múltiplo de 3 (es una propiedad de los múltiplos)... Entonces, Oh!, 3 x m + a x 999 + b x 99 + c x 9 es múltiplo de 3... podemos escribirlo como 3 x n... y tenemos que:
abcd = 3 x n!! ¡¡Llegamos a dónde queríamos!!
Observaciones:
- Debieramos también demostrar "la vuelta". Demostramos que si a + b + c + d es múltiplo de 3 entonces abcd es múltiplo de 3 (Esa fue "la ida"). "La vuelta" sería demostrar que si abcd es múltiplo de 3 entonces a + b + c + d es múltiplo de 3. Cuando, en alguna propiedad, se cumple "la ida" y "la vuelta" se puede decir, por ejemplo en este caso: a + b + c + d es múltiplo de 3 sí y sólo sí abcd es múltiplo de 3. Un ejemplo más cotidiano: Si es perro tiene 4 patas (la ida), pero la vuelta no es cierta: si tiene 4 patas es perro... O si es perro, ladra (la ida); si ladra, es perro (la vuelta). Ambas se cumplen entonces podemos decir: Es perro sí y sólo sí ladra.
- Demostramos para los números de 4 cifras, en rigor debieramos hacer una demostración más general para cualquier número de cifras... No vale decir: - ah, si se cumple hasta el 9999 "se tiene que cumplir para todos los números". Nooooooooo... Atrás! hay que demostrarlo para todos los números.
Tarea para el hogar:
Quienes quieran jugar este gran juego les doy un par de ideas:
- Demostrar que todos los números que terminan en 0, 2, 4 u 8 son múltiplos de 2. (dificultad: media)
Durante nuestra dijimos un par de cosas que parecían obvias pero habría que demostrarlas:
- Si es múltiplo de 9 es múltiplo de 3. (dificultad: facil)
- Si el número tiene todos 9, por ejemplo, 9999, es múltiplo de 9. (dificultad: media).
Hacer cuentas es una pavada. 1 + 1 es siempre 2. ¿Qué gracia tiene? Es aburrido. Es como hacer una torta siguiendo una receta y no poderla cambiar ni un poquito. La tercer vez que hice la misma torta del mismo modo, me aburrí. La matemática es otra cosa, algo mucho más divertido.
Entonces, ¿qué es la matemática? Es una ciencia exácta. Que sea una ciencia quiere decir que su finalidad es estudiar. Estudia las propiedades de los números, los conjuntos, y varios otros "objetos matemáticos". Y es una ciencia exácta. Eso quiere decir que no se hacen experimentos como en las ciencias naturales, la física, la química y la biología por ejemplo. O sea que NO se basa en la observación de la naturaleza. La matemática trata de descubrir, como un detective, propiedades de los elementos y conjuntos que estudia.
Veamos un ejemplo. ¿Cómo hacen para saber si un número es múltiplo de 3? La primer posibilidad es dividirlo por 3 y si el resto es 0, el número es múltiplo. Por ejemplo: 15, 15 / 3 = 5 y el resto es 0. entonces es múltiplo de 3. O 22, 22 / 3 = 7 y el resto es 1, entonces no es múltiplo de 3. Hasta acá viene fácil. Pero, ¿cómo hacen para saber si 128374124783943 es múltiplo de 3? Podrían dividirlo... pero es mucho trabajo... Hay una forma más facil de saber. Hay una regla, una receta, dice así: se suman las cifras del número si el resultado es múltiplo de 3 el número original es múltiplo de 3. Veamos un ejemplo, fácil:
Numero original: 15
Suma de las cifras: 1 + 5 = 6, ES múltiplo de 3 (3 x 2), entonces el número original (15) ES múltiplo de 3.
Otro ejemplo:
Numero original: 22
Suma de las cifras: 2 + 2 = 4, NO ES múltiplo de 3 (3 x 1 + 1), entonces el número original (22) NO ES múltiplo de 3.
Y ahora probemos con el número grande:
Número original: 128374124783943
Suma de cifras: 1 + 2 + 8 + 3 + 7 + 4 + 1 + 2 + 4 + 7 + 8 + 3 + 9 + 4 + 3 = 65, NO ES múltiplo de 3 (3 x 22 + 1) [pueden volver a aplicar la regla]
Fenomeno, una pavada. Seguramente la mayoría de ustedes ya sabía este truco, esta regla. Pero, ahora viene lo divertido: ¿por qué? ¿Por qué funciona la regla? ¿Es mágia? Noooooooooooo. ¡Es matemática! ¿Por qué un número es múltiplo de 3 sí y sólo sí la suma de sus cifras es múltiplo de 3? Ahora vamos a ver por qué. Digamos que es una propiedad de los números naturales, de tooooooodos los números naturales. Es algo que se puede demostrar. Por medio de un cuidadoso razonamiento vamos a demostrar (ver, dejar en claro) que toooodos los números naturales cumplen con esa propiedad.
Vamos a demostrar que toooodos los números naturales cuya suma de cifras es múltiplo de 3, el número original también lo es.
[también se puede demostrar la inversa, o sea al reves, que para todo múltiplo de 3 la súma de sus cifras es también multiplo de 3]
Bueno, ¿están preparados? Esto es matemática de verdad. Para demostar los matemáticos ordenan sus razonamientos en algo que llaman teorema. El teorema tiene una parte que se llama hipótesis y es lo que quiero demostrar. Entonces, nuestra hipótesis es, que todos los números cuya suma de cifras son múltiplo de 3, el número también lo es.
Otra parte del teorema es la tesis. Esta formada por todo lo que yo ya sé [O sea, ya lo demostré antes]. Nuestra tesis será: saber descomponer un número en base 10 y saber qué es un múltiplo. Si ustedes no saben algo de esto no podemos seguir porque no van a entender ni medio.
¿Cómo vamos a hacer esto? Una posibilidad sería ver si se cumple para 1, después para 2, después para 3... y así para toooodos los números, pero no terminaríamos más.
Los matemáticos tienen un lenguaje que los ayuda a hablar y pensar de tooodos los números al mismo tiempo. Al principio puede resultar difícil, pero eso es lo divertido, lo hermoso. ¿Cómo pensar en tooodos los números al mismo tiempo sin que explote la cabeza?
La demostración es la parte del teorema en que mediante razonamientos llegamos desde la tesis (lo que sabemos) a la hipótesis (lo que todavía no sabemos del todo). Veamos.
Demostración: Para hacerlo fácil vamos a suponer que tenemos un número de 4 cifras, pero como verán el mismo razonamiento se puede aplicar a cualquiér número de cifras. En ese lenguaje, que usan los matemáticos, para pensar en todos los números al mismo tiempo sin que les explote la cabeza, suelen representar un número con una letra. Nosotros vamos a hacer lo mismo porque esto es matemática de verdad. Nuestro número de 4 cifras lo vamos a representar así: abcd. abcd representa cualquier número de 4 cifras, representa 2005, 1810, 1492, cualquiera. Si abcd = 1810, entonces a = 1, b = 8, c = 1, d = 0.
Nosotros queríamos demostrar que si la suma de cifras de un número es multiplo de 3 entonces el número también lo es. O sea en nuestro lenguaje eso se dice así:
Sí a + b + c + d es múltiplo de 3 entonces abcd es múltiplo de 3.
Los múltiplos de 3 son los números de la forma 3 x n, donde n es cualquier número natural. Nuestra hipótesis dicha de este modo matemático sería:
Sí a + b + c + d = 3 x m, entonces abcd = 3 x n, donde m y n son números naturales.
Hasta ahora, no hicimos nada, es solo un lenguaje, una manera de decir las cosas... Muchas veces en la ciencia la mitad de la resolución de un problema pasa por expresarlo claramente.
Ahora viene el oficio del matemático, la viveza para de a + b + c + d = 3 x m llegar a abcd = 3 x n. Como si estuvieramos en un laberinto hay que buscar el camino.... me quedé pensando... de a + b + c + d tenemos que llegar a abcd.... mmm... abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d... entonces hagamos esto:
teníamos que:
a + b + c + d = 3 x m
sumemos a x 999 + b x 99 + c x 9 a cada lado del igual, nos queda:
a + b + c + d + a x 999 + b x 99 + c x 9 = 3 x m + a x 999 + b x 99 + c x 9
agrupando:
a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = 3 x m + a x 999 + b x 99 + c x 9
a la izquierda del igual nos quedó abcd (era lo que quería), entonces:
abcd = 3 x m + a x 999 + b x 99 + c x 9
veamos que 3 x m, es múltiplo de 3 (por 3); a x 999 es múltiplo de 3 (porque 999 es múltiplo de 9 y 9 es múlpliplo de 3), b x 99 es múltiplo de 3 (porque 99 es múltiplo de 9 y 9 es múltiplo de 3) y que c x 9 es múltiplo de 3. Si sumamos 4 múltiplos de 3 el resultado es múltiplo de 3 (es una propiedad de los múltiplos)... Entonces, Oh!, 3 x m + a x 999 + b x 99 + c x 9 es múltiplo de 3... podemos escribirlo como 3 x n... y tenemos que:
abcd = 3 x n!! ¡¡Llegamos a dónde queríamos!!
Observaciones:
- Debieramos también demostrar "la vuelta". Demostramos que si a + b + c + d es múltiplo de 3 entonces abcd es múltiplo de 3 (Esa fue "la ida"). "La vuelta" sería demostrar que si abcd es múltiplo de 3 entonces a + b + c + d es múltiplo de 3. Cuando, en alguna propiedad, se cumple "la ida" y "la vuelta" se puede decir, por ejemplo en este caso: a + b + c + d es múltiplo de 3 sí y sólo sí abcd es múltiplo de 3. Un ejemplo más cotidiano: Si es perro tiene 4 patas (la ida), pero la vuelta no es cierta: si tiene 4 patas es perro... O si es perro, ladra (la ida); si ladra, es perro (la vuelta). Ambas se cumplen entonces podemos decir: Es perro sí y sólo sí ladra.
- Demostramos para los números de 4 cifras, en rigor debieramos hacer una demostración más general para cualquier número de cifras... No vale decir: - ah, si se cumple hasta el 9999 "se tiene que cumplir para todos los números". Nooooooooo... Atrás! hay que demostrarlo para todos los números.
Tarea para el hogar:
Quienes quieran jugar este gran juego les doy un par de ideas:
- Demostrar que todos los números que terminan en 0, 2, 4 u 8 son múltiplos de 2. (dificultad: media)
Durante nuestra dijimos un par de cosas que parecían obvias pero habría que demostrarlas:
- Si es múltiplo de 9 es múltiplo de 3. (dificultad: facil)
- Si el número tiene todos 9, por ejemplo, 9999, es múltiplo de 9. (dificultad: media).
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